Obsah

• Kroky
• Časť 1 z 3: Factoring binomials
• Časť 2 z 3: Faktorovanie binomických čísel na riešenie rovníc
• Časť 3 z 3: Riešenie zložitých problémov
• Tipy
• Varovania

Binomické (binomické) je matematický výraz s dvoma výrazmi, medzi ktorými je znamienko plus alebo mínus, napríklad ${ Displaystyle sekera + b}$... Prvý člen obsahuje premennú a druhý ho obsahuje alebo nezahŕňa. Factoring a binomial zahrnuje hľadanie výrazov, ktoré keď sú vynásobené, vytvoria pôvodný binomiál na jeho vyriešenie alebo zjednodušenie.

Kroky

Časť 1 z 3: Factoring binomials

1. 1 Pochopte základy procesu faktoringu. Pri faktoringu na binomické číslo je faktor, ktorý je deliteľom každého výrazu pôvodného binomického čísla, vytiahnutý zo zátvorky. Napríklad číslo 6 je úplne deliteľné 1, 2, 3, 6. Deliteľmi čísla 6 sú teda čísla 1, 2, 3, 6.
   • Delitelia 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Deliteľ ľubovoľného čísla je 1 a číslo samotné. Napríklad delitelia 3 sú 1 a 3.
   • Celočíselné delitele môžu byť iba celé čísla. Číslo 32 je možné vydeliť 3,564 alebo 21,4952, ale nedostanete celé číslo, ale desatinný zlomok.
2. 2 Objednajte si výrazy v binomickej verzii, aby ste uľahčili proces faktoringu. Binomická hodnota je súčet alebo rozdiel dvoch výrazov, z ktorých najmenej jeden obsahuje premennú. Niekedy sú premenné povýšené na moc, napr. ${ displaystyle x ^ {2}}$ alebo ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Je lepšie zoradiť výrazy binomie vo vzostupnom poradí exponentov, to znamená, že výraz s najmenším exponentom sa napíše ako prvý a s najväčším - posledným. Napríklad:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ Displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Všimnite si znamienka mínus pred 2. Ak je výraz odpočítaný, napíšte pred neho znamienko mínus.
3. 3 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa (GCD) oboch výrazov. GCD je najväčšie číslo, pomocou ktorého sú deliteľné obidva členy binomického čísla. Ak to chcete urobiť, nájdite delitele každého výrazu v dvojčlene a potom vyberte najväčšieho spoločného deliteľa. Napríklad:
   • Úloha:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Delitelia 3: 1, 3
     • Delitelia 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Každý výraz rozdeľte v dvojčlene na najväčšieho spoločného deliteľa (GCD). Vykonajte to, aby ste vylúčili GCD. Všimnite si toho, že každý člen binomického čísla sa zmenšuje (pretože je deliteľný), ale ak je GCD vylúčený z zátvorky, konečný výraz bude rovnaký ako pôvodný.
   • Úloha:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Nájdite GCD: 3
   • Rozdeľte každý binomický výraz pomocou gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Presuňte deliteľ mimo zátvorky. Predtým ste rozdelili oba termíny binomického čísla deliteľom 3 a dostali ste ${ displaystyle t + 2}$... Ale nemôžete sa zbaviť 3 - aby boli hodnoty počiatočných a konečných výrazov rovnaké, musíte dať 3 mimo zátvorky a výraz, ktorý bol výsledkom delenia, napísať do zátvoriek. Napríklad:
   • Úloha:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Nájdite GCD: 3
   • Rozdeľte každý binomický výraz pomocou gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Vynásobte deliteľa výsledným výrazom:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Odpoveď: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Skontroluj svoju odpoveď. Za týmto účelom vynásobte výraz pred zátvorkami každým výrazom v zátvorkách. Ak získate pôvodný dvojčlen, riešenie je správne. Teraz problém vyriešte ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Objednajte členov:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Nájdite GCD:${ displaystyle 6}$
   • Rozdeľte každý binomický výraz pomocou gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Vynásobte deliteľa výsledným výrazom:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Skontrolujte odpoveď:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Časť 2 z 3: Faktorovanie binomických čísel na riešenie rovníc

1. 1 Faktor binárneho čísla zjednodušte a vyriešte rovnicu. Na prvý pohľad sa zdá nemožné vyriešiť niektoré rovnice (obzvlášť pri zložitých binomických číslach). Vyriešte napríklad rovnicu ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3 roky}$... V tejto rovnici sú sily, preto najskôr zvážte výraz.
   • Úloha:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3 roky}$
   • Pamätajte na to, že dvojčlen má dva členy. Ak výraz obsahuje viac výrazov, prečítajte si, ako riešiť polynómy.
2. 2 Na obe strany rovnice pripočítajte alebo odčítajte nejaké monomické tak, aby na jednej strane rovnice zostala nula. V prípade faktorizácie je riešenie rovníc založené na nemennej skutočnosti, že akýkoľvek výraz vynásobený nulou sa rovná nule. Ak teda rovnicu prirovnáme k nule, potom sa ktorýkoľvek z jej faktorov musí rovnať nule. Nastavte jednu stranu rovnice na 0.
   • Úloha:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3 roky}$
   • Nastaviť na nulu:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktor výsledného koša. Vykonajte to podľa popisu v predchádzajúcej časti. Nájdite najväčší spoločný faktor (GCD), rozdeľte oň oba členy binomického čísla a potom ho vytiahnite zo zátvoriek.
   • Úloha:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3 roky}$
   • Nastaviť na nulu:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Nastavte každý faktor na nulu. Vo výslednom vyjadrení sa 2y vynásobí 4 - y a tento súčin sa rovná nule. Pretože akýkoľvek výraz (alebo výraz) vynásobený nulou je nula, potom 2y alebo 4 - y je 0. Nastavte výsledný monomiál a binom na nulu, aby ste našli „y“.
   • Úloha:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3 roky}$
   • Nastaviť na nulu:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Nastavte oba faktory na 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Vyriešte výsledné rovnice a nájdite konečnú odpoveď (alebo odpovede). Pretože každý faktor je rovný nule, rovnica môže mať viac riešení. V našom prípade:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Skontroluj svoju odpoveď. Za týmto účelom nahraďte nájdené hodnoty do pôvodnej rovnice. Ak je rovnosť pravdivá, rozhodnutie je správne. Namiesto „y“ nahraďte nájdené hodnoty. V našom prípade y = 0 a y = 4:
   • ${ Displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Toto je správne rozhodnutie
   • ${ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$A toto je správne rozhodnutie

Časť 3 z 3: Riešenie zložitých problémov

1. 1 Pamätajte na to, že výraz s premennou môže byť tiež faktorizovaný, aj keď je premenná premenená na mocninu. Pri faktoringu musíte nájsť monomiál, ktorý integrálne delí každého člena binomického čísla. Napríklad ten monomický ${ displaystyle x ^ {4}}$ možno faktorizovať ${ Displaystyle x * x * x * x}$... To znamená, že ak druhý člen binomického čísla obsahuje aj premennú „x“, potom „x“ možno vybrať zo zátvoriek. Považujte teda premenné za celé čísla. Napríklad:
   • Obaja členovia dvojčlenu ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ obsahujú „t“, takže „t“ je možné odstrániť zo zátvorky: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Z držiaka možno vybrať aj premennú zvýšenú na výkon. Napríklad obaja členovia dvojčlenu ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ obsahovať ${ displaystyle x ^ {2}}$, takže ${ displaystyle x ^ {2}}$ je možné vybrať z držiaka: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Sčítaním alebo odčítaním podobných výrazov získate dvojčlen. Napríklad vzhľadom na výraz ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Na prvý pohľad je to polynóm, ale v skutočnosti je tento výraz možné previesť na binomický. Pridajte podobné výrazy: 6 a 14 (neobsahujú premennú) a 2x a 3x (obsahujú rovnakú premennú „x“). V tomto prípade bude proces faktoringu zjednodušený:
   • Pôvodný výraz:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Objednajte členov:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Pridajte podobné výrazy:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Nájdite GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Vynásobte rozdiel dokonalých štvorcov. Dokonalý štvorec je číslo, ktorého odmocnina je napríklad celé číslo ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ a dokonca ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Ak je binomický rozdiel dokonalých štvorcov, napr. ${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$Potom sa faktorizuje podľa vzorca:
   • Vzorec rozdielu štvorcov:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Úloha:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extrahujte odmocniny:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Nájdené hodnoty nahraďte vzorcom: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Vynásobte rozdiel medzi kompletnými kockami. Ak je binomický rozdiel úplných kociek, napr. ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, potom sa faktorizuje pomocou špeciálneho vzorca. V tomto prípade je potrebné extrahovať koreň kocky z každého člena binomickej sústavy a nájdené hodnoty nahradiť do vzorca.
   • Vzorec pre rozdiel medzi kockami:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Úloha:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrahujte kubické korene:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Nájdené hodnoty nahraďte vzorcom: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Vypočítajte súčet plných kociek. Na rozdiel od súčtu dokonalých štvorcov, súčet celých kociek, napr. ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, možno faktorizovať pomocou špeciálneho vzorca. Je to podobné ako vzorec pre rozdiel medzi kockami, ale znamienka sú obrátené. Vzorec je celkom jednoduchý - použite ho a nájdite súčet plných kociek v probléme.
   • Vzorec pre súčet kociek:${ Displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Úloha:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrahujte kubické korene:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Nájdené hodnoty nahraďte vzorcom: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tipy

• Binomické členy niekedy nemajú spoločného deliteľa. Pri niektorých úlohách sú členovia predstavení v zjednodušenej forme.
• Ak nemôžete ihneď nájsť GCD, začnite delením malými číslami. Ak napríklad nevidíte, že GCD čísiel 32 a 16 je 16, vydelte obe čísla dvoma. Dostanete 16 a 8; tieto čísla môžu byť delené 8. Teraz dostanete 2 a 1; tieto počty nie je možné znížiť. Je teda zrejmé, že existuje väčšie číslo (v porovnaní s 8 a 2), ktoré je spoločným deliteľom týchto dvoch čísel.
• Všimnite si toho, že výrazy šiesteho rádu (s exponentom 6, napríklad x) sú dokonalé štvorce aj dokonalé kocky. Na binomikály s výrazmi šiesteho rádu, napríklad x - 64, je možné použiť (v ľubovoľnom poradí) vzorce pre rozdiel štvorcov a rozdiel kociek. Je však lepšie najskôr použiť vzorec pre rozdiel štvorcov, aby sa správnejšie rozložili pomocou binomického čísla.

Varovania

• Binomickú hodnotu, ktorá je súčtom dokonalých štvorcov, nemožno faktorizovať.