Obsah

• Kroky
• Rada

Na rozdiel od priamky sa koeficient sklonu (sklonu) neustále mení, keď sa pohybuje po krivke. Kalkul dáva predstavu, že každý bod v grafe možno vyjadriť ako koeficient uhla alebo „okamžitú rýchlosť zmeny“. Tangenta v bode je priamka, ktorá má rovnaký uhlový koeficient a prechádza rovnakým bodom. Ak chcete nájsť rovnicu dotyčnice, potrebujete vedieť, ako odvodiť pôvodnú rovnicu.

Kroky

Metóda 1 z 2: Nájdite rovnicu pre dotyčnicu

1. 

   Funkcie grafu a dotyčnice (tento krok je voliteľný, ale odporúča sa). Tabuľka vám pomôže ľahšie pochopiť problém a skontroluje, či je odpoveď primeraná alebo nie. Nakreslite funkčný graf na grafický papier, v prípade potreby použite na porovnanie vedeckú kalkulačku s funkciou grafu. Nakreslite dotyčnicu cez daný bod (Pamätajte, že dotyčnica prechádza cez tento bod a má rovnaký sklon ako tam uvedený graf).
   • Príklad 1: Parabolická kresba. Nakreslite dotyčnicu cez bod (-6, -1).
     Aj keď neviete dotyčnicu, stále môžete vidieť, že jej sklon je záporný a križovatka je záporná (ďaleko pod parabolickým vrcholom so súradnicou -5,5). Ak konečná odpoveď, ktorú nájdete, nezodpovedá týmto detailom, musí sa vo výpočte vyskytnúť chyba a musíte ju skontrolovať znova.

2. 

   
   
   Získajte prvú deriváciu na nájdenie rovnice sklon dotyčnice. Pri funkcii f (x) predstavuje prvá derivácia f '(x) rovnicu pre sklon dotyčnice v ktoromkoľvek bode f (x). Existuje mnoho spôsobov, ako brať deriváty. Tu je jednoduchý príklad použitia pravidla napájania:
   • Príklad 1 (pokračovanie): Graf je daný funkciou.
     Pripomínanie pravidla sily pri derivácii:.
     Prvá derivácia funkcie = f '(x) = (2) (0,5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. Keď nahradíme x ľubovoľnou hodnotou a, rovnica nám dá sklon tangensovej funkcie f (x) v bode x = a.

3. 

   
   
   Zadajte hodnotu x uvažovaného bodu. Prečítajte si problém a nájdite súradnice bodu, aby ste našli dotyčnicu. Zadajte súradnicu tohto bodu do f '(x). Získaným výsledkom je sklon dotyčnice vo vyššie uvedenom bode.
   • Príklad 1 (pokračovanie): Bod uvedený v článku je (-6, -1). Použitie uhlopriečky -6 napätia do f '(x):
     f '(- 6) = -6 + 3 = -3
     Sklon dotykovej čiary je -3.

4. 

   
   
   Napíšte rovnicu pre dotyčnicu s priamkou tak, že budete vedieť koeficient uhla a bod na ňom. Táto lineárna rovnica je napísaná ako. Vo vnútri m je sklon a je bodom na dotyčnici. Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na napísanie dotyčnej rovnice v tejto podobe.
   • Príklad 1 (pokračovanie):
     Sklon dotykovej čiary je -3, takže:
     Dotyčnica prechádza bodom (-6, -1), takže konečná rovnica je:
     Stručne povedané, môžeme:
     

5. 

   Grafické potvrdenie. Ak máte grafickú kalkulačku, nakreslite pôvodnú funkciu a dotyčnicu, aby ste skontrolovali, či je odpoveď správna. Ak robíte výpočty na papieri, použite skôr nakreslené grafy, aby ste sa uistili, že vaša odpoveď neobsahuje zjavné chyby.
   • Príklad 1 (pokračovanie): Počiatočný výkres ukazuje, že dotyčnica má záporné koeficienty uhla a posun je hlboko pod -5,5. Práve nájdená tangenciálna rovnica je y = -3x -19, čo znamená, že -3 je sklon uhla a -19 je súradnica.

6. 

   Skúste vyriešiť zložitejší problém. Opäť prechádzame všetkými vyššie uvedenými krokmi.V tomto okamihu je cieľom nájsť dotyčnicu z x = 2:
   • Nájdite prvú deriváciu pomocou pravidla napájania :. Táto funkcia nám dá sklon dotyčnice.
   • Pre x = 2 nájdite. Toto je sklon pri x = 2.
   • Všimnite si, že tentokrát nemáme bod a iba súradnicu x. Ak chcete zistiť súradnicu y, nahraďte x = 2 v pôvodnej funkcii :. Skóre je (2,27).
   • Napíšte rovnicu pre dotyčnicu, ktorá prechádza bodom a má koeficient uhla určený:
     
     Ak je to potrebné, redukujte na y = 25x - 23.
   reklama

Metóda 2 z 2: Riešenie súvisiacich problémov

1. 

   Nájdite extrém v grafe. Sú to body, v ktorých sa graf blíži k miestnemu maximu (bod vyššie ako susedné body na oboch stranách) alebo k miestnemu minimu (nižšie ako susedné body na oboch stranách). Tangenta má v týchto bodoch vždy nulový koeficient (vodorovná čiara). Koeficient uhla však nestačí na záver, že ide o krajný bod. Takto ich nájdete:
   • Vezmite prvú deriváciu funkcie a získate f '(x), sklon sklonu dotyčnice.
   • Riešením rovnice f '(x) = 0 nájdeme krajný bod potenciál.
   • Ak vezmeme kvadratickú deriváciu, aby sme dostali f '(x), rovnica nám hovorí rýchlosť zmeny sklonu dotyčnice.
   • Pri každom potenciálnom extréme zmeňte súradnicu a do f '(x). Ak je f '(a) kladné, máme miestne minimum at a. Ak je f '(a) záporné, máme lokálny maximálny bod. Ak f '(a) je 0, nebude to extrém, je to inflexný bod.
   • Ak max alebo min dosiahol na a, nájdite f (a) na určenie priesečníka.

2. 

   Nájdite rovnice normály. „Normálna“ čiara krivky v danom bode a prechádza týmto bodom a je kolmá na dotyčnicu. Ak chcete nájsť rovnicu normály, použite toto: (sklon normály) (sklon normály) = -1, keď prechádzajú rovnakým bodom v grafe. Konkrétne:
   • Nájdite f '(x), sklon dotyčnice.
   • Ak v danom bode máme x = a: nájdite f '(a) na určenie sklonu v danom bode.
   • Vypočítajte, aby ste našli koeficient normály.
   • Napíš rovnicu pre kolmicu na znalosti koeficientov uhla a bodu, ktorým prechádza.
   reklama

Rada

• Ak je to potrebné, prepíšte pôvodnú rovnicu do štandardného tvaru: f (x) = ... alebo y = ...