Obsah

• Kroky
• Tipy

Racionálna funkcia má tvar y = N (x) / D (x), kde N a D sú polynómy. Na presné vykreslenie takejto funkcie potrebujete dobrú znalosť algebry vrátane diferenciálnych výpočtov. Zvážte nasledujúci príklad: r = (2X - 6X + 5)/(4X + 2).

Kroky

1. 1 Nájdite osi y grafu. Za týmto účelom dosaďte do funkcie x = 0 a získajte y = 5/2. Priesečník grafu s osou Y má teda súradnice (0, 5/2).Tento bod umiestnite na súradnicovú rovinu.
2. 2 Nájdite horizontálne asymptoty. Vydeľte čitateľa menovateľom (v stĺpci), aby ste určili správanie „y“ s hodnotami „x“ sklonenými do nekonečna. V našom prípade bude rozdelenie r = (1/2)X - (7/4) + 17/(8X + 4). Pre veľké kladné alebo záporné hodnoty „x“ 17 / (8X + 4) má tendenciu k nule a graf sa blíži k priamke danej funkciou r = (1/2)X - (7/4). Túto funkciu nakreslite pomocou bodkovanej čiary.
   • Ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, potom nemôžete rozdeliť čitateľa na menovateľa a asymptotu popíše funkcia o = 0.
   • Ak je stupeň čitateľa rovný stupňu menovateľa, potom je asymptota vodorovná čiara rovnajúca sa pomeru koeficientov na „x“ v najvyššom stupni.
   • Ak je stupeň čitateľa o 1 väčší ako stupeň menovateľa, potom je asymptota naklonená rovná čiara, ktorej sklon sa rovná pomeru koeficientov pri „x“ k najvyššiemu stupňu.
   • Ak je stupeň čitateľa väčší ako stupeň menovateľa o 2, 3 atď., Potom pre veľké hodnoty |NS| význam o majú sklon k nekonečnu (kladnému alebo zápornému) vo forme štvorca, kubického alebo iného stupňa polynómu. V tomto prípade s najväčšou pravdepodobnosťou nemusíte zostavovať presný graf funkcie získanej vydelením čitateľa menovateľom.
3. 3 Nájdite nuly funkcie. Racionálna funkcia má nuly, keď je jej čitateľ nula, to znamená N (NS) = 0. V našom prípade 2X - 6X + 5 = 0. Diskriminant tejto kvadratickej rovnice: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Pretože diskriminant je záporný, potom N (NS), a teda F (NS) nemá skutočné korene. Graf racionálnej funkcie nepretína os X. Ak má funkcia nuly (korene), umiestnite ich na súradnicovú rovinu.
4. 4 Nájdite zvislé asymptoty. Ak to chcete urobiť, nastavte menovateľ na nulu. V našom prípade 4X + 2 = 0 a NS = -1/2. Vykreslite zvislú asymptotu pomocou bodkovanej čiary. Ak za nejakú hodnotu NS N (NS) = 0 a D (NS) = 0, potom vertikálna asymptota buď existuje, alebo neexistuje (je to zriedkavý prípad, ale je lepšie si ho zapamätať).
5. 5 Pozrite sa na zvyšok čitateľa vydelený menovateľom. Je kladný, záporný alebo nulový? V našom prípade je zvyšok 17, čo je kladné. Menovateľ 4X + 2 kladné hodnoty napravo od zvislej asymptoty a záporné hodnoty vľavo od nej. To znamená, že graf racionálnej funkcie pre veľké kladné hodnoty NS pristupuje k asymptote zhora a pre veľké záporné hodnoty NS - zdola. Od 17 / (8X + 4) sa nikdy nerovná nule, potom graf tejto funkcie nikdy nepretne priamu čiaru určenú funkciou o = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Nájdite miestne extrémy. Lokálne extrémum existuje pre N '(X) D (X) - N (X) D '(X) = 0. V našom prípade N ‘(X) = 4X - 6 a D '(X) = 4. N ‘(X) D (X) - N (X) D '(X) = (4X - 6)(4X + 2) - (2X - 6X + 5)*4 = X + X - 4 = 0. Po vyriešení tejto rovnice zistíte, že X = 3/2 a X = -5/2. (Nie sú to úplne presné hodnoty, ale sú vhodné pre náš prípad, keď nie je potrebná presnosť.)
7. 7 Nájdite hodnotu o pre každý lokálny extrém. Za týmto účelom nahraďte hodnoty NS do pôvodnej racionálnej funkcie. V našom prípade f (3/2) = 1/16 a f (-5/2) = -65/16. Odložte body (3/2, 1/16) a (-5/2, -65/16) v súradnicovej rovine. Pretože výpočty sú založené na približných hodnotách (z predchádzajúceho kroku), nájdené minimum a maximum tiež nie sú úplne presné (ale pravdepodobne sú veľmi blízko presným hodnotám). (Bod (3/2, 1/16) je veľmi blízko miestneho minima. Počnúc krokom 3 to vieme o vždy pozitívne pre NS> -1/2, a zistili sme malú hodnotu (1/16); hodnota chyby je v tomto prípade extrémne malá.)
8. 8 Pripojte čakajúce body a plynule roztiahnite graf k asymptotám (nezabudnite na správny smer grafu približujúceho sa k asymptotám). Graf nesmie prekročiť os X (pozri krok 3). Graf sa tiež nepretína s horizontálnymi a vertikálnymi asymptotami (pozri krok 5). Smer grafu nemeňte okrem extrémnych bodov uvedených v predchádzajúcom kroku.

Tipy

• Ak ste striktne dodržali vyššie uvedené kroky, nie je potrebné na testovanie vášho roztoku počítať druhé deriváty (alebo podobné komplexné množstvá).
• Ak nepotrebujete vypočítať hodnoty veličín, môžete nahradiť nájdenie lokálnych extrémov výpočtom ďalších dvojíc súradníc (NS, o) medzi každým párom asymptot. Navyše, ak vám nie je jedno, ako opísaná metóda funguje, potom sa nečudujte, prečo nemôžete nájsť deriváciu a vyriešiť rovnicu N '(X) D (X) - N (X) D '(X) = 0.
• V niektorých prípadoch budete musieť pracovať s polynómami vyššieho rádu. Ak nemôžete nájsť presné riešenie pomocou faktorizácie, vzorcov atď., Odhadnite možné riešenia pomocou numerických metód, ako je Newtonova metóda.
• V zriedkavých prípadoch majú čitateľ a menovateľ spoločný variabilný faktor. Podľa opísaných krokov to povedie k nule a vertikálnej asymptote na rovnakom mieste. To však nie je možné a vysvetlenie je jedno z týchto:
  • Nula v N (NS) má väčšiu multiplicitu ako nula v D (NS). Graf F (NS) má v tomto bode tendenciu k nule, ale nie je tam definovaný. Označte to nakreslením kruhu okolo bodu.
  • Nula v N (NS) a nula v D (NS) majú rovnakú multiplicitu. Graf sa pri tejto hodnote blíži k nejakému nenulovému bodu NSale nie sú tam definované. Označte to nakreslením kruhu okolo bodu.
  • Nula v N (NS) má nižšiu multiplicitu ako nula v D (NS). Tu je vertikálna asymptota.