Obsah

• Kroky
• Časť 1 z 3: Transponujte maticu
• Časť 2 z 3: Vlastnosti transpozície
• Časť 3 z 3: Hermitovská konjugovaná matica so zložitými prvkami
• Tipy

Ak sa naučíte transponovať matice, lepšie porozumiete ich štruktúre. Možno už viete o štvorcových maticiach a ich symetrii, ktoré vám pomôžu zvládnuť transpozíciu. Transpozícia okrem iného pomáha transformovať vektory do maticovej formy a nájsť vektorové produkty. Pri práci so zložitými maticami vám Hermitian-konjugované (konjugát-transpozičné) matice môžu pomôcť vyriešiť rôzne problémy.

Kroky

Časť 1 z 3: Transponujte maticu

1. 1 Vezmite akúkoľvek maticu. Transponovať je možné akúkoľvek maticu, bez ohľadu na počet riadkov a stĺpcov. Najčastejšie je potrebné transponovať štvorcové matice, ktoré majú rovnaký počet riadkov a stĺpcov, preto pre jednoduchosť zvážte ako príklad nasledujúcu maticu:
   • matica A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Predstavte si prvý riadok priamej matice ako prvý stĺpec transponovanej matice. Stačí napísať prvý riadok do stĺpca:
   • transponovaná matica = A
   • prvý stĺpec matice A:
     1
     2
     3
3. 3 To isté urobte so zvyšnými riadkami. Druhý riadok pôvodnej matice sa stane druhým stĺpcom transponovanej matice. Preložiť všetky riadky do stĺpcov:
   • A =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Skúste transponovať neštvorcovú maticu. Akákoľvek obdĺžniková matica môže byť transponovaná rovnakým spôsobom. Stačí napísať prvý riadok ako prvý stĺpec, druhý riadok ako druhý stĺpec a podobne. V nižšie uvedenom príklade je každý riadok pôvodnej matice označený svojou vlastnou farbou, aby bolo jasnejšie, ako sa pri transpozícii transformuje:
   • matica Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • matica Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Transpozíciu vyjadríme vo forme matematického zápisu. Napriek tomu, že myšlienka transpozície je veľmi jednoduchá, je najlepšie ju napísať ako prísny vzorec. Maticová notácia nevyžaduje žiadne špeciálne termíny:
   • Predpokladajme danú maticu B pozostávajúcu z m X n prvkov (m riadkov a n stĺpcov), potom je transponovaná matica B množina n X m prvkov (n riadkov a m stĺpcov).
   • Pre každý prvok b_xy (riadok X a stĺpcom r) matice B v matici B existuje ekvivalentný prvok b_yx (riadok r a stĺpcom X).

Časť 2 z 3: Vlastnosti transpozície

1. 1 (M = M. Po dvojitej transpozícii sa získa pôvodná matica. Je to celkom zrejmé, pretože keď znova transponujete, znova zmeníte riadky a stĺpce, čím dôjde k pôvodnej matici.
2. 2 Zrkadlite maticu okolo hlavnej uhlopriečky. Štvorcové matice je možné „prevrátiť“ vzhľadom na hlavnú uhlopriečku. Prvky pozdĺž hlavnej uhlopriečky (od a₁₁ do pravého dolného rohu matice) zostanú na svojom mieste a ostatné prvky sa presunú na druhú stranu tejto uhlopriečky a zostanú od nej v rovnakej vzdialenosti.
   • Ak je pre vás ťažké predstaviť si túto metódu, vezmite si papier a nakreslite maticu 4x4. Potom usporiadajte jeho bočné prvky vzhľadom na hlavnú uhlopriečku. Súčasne sledujte prvky a₁₄ a a₄₁... Pri transpozícii musia byť vymenené ako ostatné páry bočných prvkov.
3. 3 Transponujte symetrickú maticu. Prvky takejto matice sú symetrické voči hlavnej uhlopriečke. Ak vykonáte vyššie uvedenú operáciu a „prevrátite“ symetrickú maticu, nezmení sa to. Všetky prvky sa zmenia na podobné. V skutočnosti je to štandardný spôsob, ako zistiť, či je daná matica symetrická. Ak platí rovnosť A = A, potom je matica A symetrická.

Časť 3 z 3: Hermitovská konjugovaná matica so zložitými prvkami

1. 1 Uvažujme o komplexnej matici. Prvky komplexnej matice sú zložené zo skutočných a imaginárnych častí. Takúto matricu je tiež možné transponovať, aj keď sa vo väčšine praktických aplikácií používajú konjugátovo transponované alebo hermitovsko-konjugované matrice.
   • Nech je daná matica C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Nahraďte prvky komplexnými konjugovanými číslami. Pri operácii komplexnej konjugácie zostáva skutočná časť rovnaká a imaginárna časť mení svoje znamenie na opak. Urobme to so všetkými štyrmi prvkami matice.
   • nájdite komplexnú maticu konjugátov C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Výslednú maticu transponujeme. Vezmite nájdenú komplexnú maticu konjugátu a jednoducho ju transponujte. V dôsledku toho získame maticu transponovanú konjugátom (Hermitian-konjugát).
   • matica transponovaná konjugátom C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Tipy

• V tomto článku je transponovaná matica vzhľadom na maticu A označená ako A. Existuje aj zápis A 'alebo Ã.
• V tomto článku je hermitovsko-konjugovaná matica vzhľadom na maticu A označená ako A, čo je bežný zápis v lineárnej algebre. V kvantovej mechanike sa často používa zápis A.Hermitovská konjugovaná matica je niekedy zapísaná vo forme A *, ale je lepšie sa tomuto zápisu vyhnúť, pretože sa používa aj na zápis komplexnej konjugovanej matice.