Obsah

• Kroky
• Rada
• Výstraha

Inverzia sa často používa v kalkuse na zjednodušenie problematických problémov inými spôsobmi. Napríklad je jednoduchšie množiť sa s inverznou hodnotou zlomku, ako je priamo ho vydeliť týmto číslom. Toto je inverzná hodnota. Rovnako tak, pretože pre maticu neexistujú žiadne znaky zlomkov, budete musieť vynásobiť jej inverznú maticu. Výpočet inverznej matice matice 3x3 môže byť veľmi zdĺhavý, ale je potrebné zvážiť ho. Môžete na to použiť aj pokročilú grafickú kalkulačku.

Kroky

Metóda 1 z 3: Vytvorte ďalšiu maticu na vyhľadanie inverznej matice

1. 

   Skontrolujte determinant matice. Prvý krok: nájdite determinant matice. Ak je determinant 0, je to hotové: táto matica nie je reverzibilná. Determinant matice M môžeme označiť det (M).
   • Ak chcete nájsť inverznú hodnotu matice 3x3, musíte najskôr vypočítať jej determinant.
   • Informácie o tom, ako nájsť determinant matíc, nájdete v článku Vyhľadanie determinantu matice 3x3.

2. 

   
   
   Originálna maticová transpozícia. Transpozícia znamená odrážanie matice cez hlavnú uhlopriečku, alebo inými slovami, zámena toho prvku (i, j) a prvku (j, i). Pri transpozícii prvkov matice zostáva hlavná uhlopriečka (prebiehajúca z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) konštantná.
   • Ďalším spôsobom, ako pochopiť transpozíciu, je to, že maticu prepíšete tak, aby sa prvý riadok stal prvým stĺpcom, prostredný riadok stredným stĺpcom a tretí riadok tretím stĺpcom. Všimnite si farebné prvky na ilustrácii vyššie a všimnite si novú pozíciu čísel.

3. 

   
   
   Nájdite determinant každej podmatice 2x2. Všetky prvky novej posunovacej matice 3x3 sú spojené so zodpovedajúcou maticou 2x2 „pod“. Ak chcete nájsť submaticu každého prvku, najskôr zvýraznite riadok a stĺpec prvého prvku. Zvýrazní sa všetkých 5 prvkov. Zvyšné štyri prvky tvoria submaticu.
   • Vo vyššie uvedenom príklade, ak chcete nájsť podmatricu prvku v riadku dva, prvom stĺpci, zvýrazníte päť slovných častí v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri prvky sú zodpovedajúcou podmatricou.
   • Nájdite determinant každej podmatice vynásobením uhlopriečky a odčítaním dvoch súčinov od seba, ako je to znázornené na obrázku vyššie.
   • Čítajte viac a dozviete sa viac o čiastkových maticiach a ich použití.

4. 

   
   
   Vytvorte maticu algebraických podsekcií. Výsledok získaný v predchádzajúcom kroku umiestnite do novej matice zloženej z algebraických podsekcií tak, že umiestnite každý determinant submatice do zodpovedajúcej polohy v pôvodnej matici. Teda determinant vypočítaný z prvku (1,1) pôvodnej matice sa umiestni do polohy (1,1). Ďalej budete musieť zmeniť znak nahradenia tejto novej matice podľa referenčnej tabuľky zobrazenej na obrázku vyššie.
   • Pri určovaní znamienka sa zachováva značka prvej molekuly predného konca. Znak druhého prvku je obrátený. Znak tretieho prvku je zachovaný. Takto pokračujte po zvyšok matice. Upozorňujeme, že znamienko (+) alebo (-) v referenčnej tabuľke neznamená, že prvok bude mať na konci kladné alebo záporné znamienko. Ukazujú iba to, že prvky zostanú neporušené (+) alebo zmenené pomocou (-).
   • Viac informácií o algebraických prílohách nájdete v základoch matice.
   • Konečným výsledkom, ktorý v tomto kroku dostaneme, je komplementárna matica pôvodnej matice. Niekedy sa tiež nazýva konjugovaná matica a označuje sa Adj (M).

5. 

   Vydeľte všetky prvky matice komplementu determinantom. Použite determinant matice M, ktorý ste vypočítali v prvom kroku (na kontrolu, či je matica reverzibilná). Teraz vydelte každý prvok matice touto hodnotou. Dajte kvocient každého rozdelenia do polohy pôvodného prvku a získame inverznú maticu pôvodnej matice.
   • Vzorová matica uvedená na ilustrácii má determinant 1. Preto pri delení každého prvku komplementárnej matice determinantom získame samú seba (nebudete mať vždy také šťastie) .
   • Namiesto rozdelenia demonštruje niektorá dokumentácia tento krok ako vynásobenie každého prvku M číslom 1 / det (M). Matematicky sú si rovnocenné.
   reklama

Metóda 2 z 3: Zmenšite lineárny riadok, aby ste našli inverznú maticu

1. 

   Pridajte maticu jednotiek do pôvodnej matice. Napíšte základnú maticu M, nakreslite zvislú čiaru napravo od tejto matice a potom napíšte jednotkovú maticu napravo od tejto čiary. V tomto okamihu máme maticu s tromi riadkami a šiestimi stĺpcami.
   • Pamätajte, že matica identity je špeciálna matica, ktorej všetky prvky na hlavnej uhlopriečke prebiehajú od ľavého horného rohu k pravému dolnému rohu rovnajúcemu sa 1 a všetky prvky na zvyšných pozíciách sa rovnajú nule.

2. 

   Vykonajte lineárnu redukciu riadkov. Cieľom je vytvoriť jednotkovú maticu v ľavej časti novo rozšírenej matice. Pri vykonávaní krokov redukcie riadkov vľavo musíte urobiť zodpovedajúcu časť vpravo - časť, ktorá je vašou jednotkovou maticou.
   • Pamätajte, že redukcia riadkov sa vykonáva ako kombinácia skalárneho násobenia a sčítania alebo odčítania riadkov, aby sa izolovali jednotlivé prvky matice.

3. 

   Pokračujte, kým sa nevytvorí jednotková matica. Pokračujte v lineárnej redukcii, kým sa v ľavej časti rozšírenej matice neobjaví matica identity (prvky na diagonále sú rovné 1, ostatné prvky sa rovnajú 0). Po dosiahnutí tohto kroku je pravou časťou vertikálneho rozdeľovača inverzná matica pôvodnej matice.

4. 

   Prepíšte inverznú maticu. Duplikujte prvky, ktoré sa momentálne nachádzajú v pravej časti vertikálneho rozdeľovača, a to je vaša inverzná matica. reklama

Metóda 3 z 3: Vyhľadajte inverznú maticu pomocou vreckovej kalkulačky

1. 

   Vyberte si kalkulačku, ktorá dokáže vyriešiť matice. Jednoduchá štvorfunkčná kalkulačka nebude schopná nájsť inverznú maticu priamo za vás. Avšak kvôli matematickému opakovaniu môže pokročilá grafická kalkulačka, ako napríklad Texas Instruments TI-83 alebo TI-86, výrazne obmedziť vašu prácu.

2. 

   Vložte maticu do kalkulačky. Najskôr zadajte funkciu Matrix kalkulačky stlačením klávesu Matrix, ak je vo vašom prístroji k dispozícii. Na prístroji Texas Instruments budete musieť stlačiť 2 Matrix.

3. 

   Vyberte podponuku Upraviť. K prístupu do tejto podponuky bude pravdepodobne potrebné použiť tlačidlá so šípkami alebo zvoliť príslušné funkčné klávesy umiestnené v hornom riadku klávesnice počítača, v závislosti od ich dizajnu.

4. 

   Vyberte názov svojej matice. Väčšina kalkulačiek je vybavená na prácu s 3 až 10 maticami, písmenami, písmenami A až J. Normálne začnime s. Stlačením klávesu Enter potvrďte výber názvu.

5. 

   Zadajte veľkosť matice. Tento článok sa zameriava na matice 3x3. Vreckové kalkulačky však zvládnu aj väčšie matice. Zadajte počet riadkov, stlačte kláves Enter, potom zadajte číslo stĺpca a stlačte kláves Enter.

6. 

   Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke počítača sa zobrazí matica. Ak ste predtým pracovali s funkciou matice, na obrazovke sa zobrazí matica, s ktorou ste pracovali predtým. Kurzor označí prvý prvok matice. Zadajte hodnotu matice, ktorú chcete vyriešiť, a stlačte kláves Enter. Kurzor sa automaticky presunie na nasledujúci prvok a prepíše všetky predchádzajúce hodnoty.
   • Ak chcete zadať záporné čísla, použite záporné tlačidlo (-) kalkulačky, nie kláves mínus. Funkcia matice sa nebude správne načítať.
   • V prípade potreby sa môžete v matici pohybovať pomocou klávesov so šípkami na svojej kalkulačke.

7. 

   Ukončite funkciu matice. Po zadaní celej hodnoty matice stlačte kláves Quit - Exit (alebo 2 Quit, ak je to potrebné). Vďaka tomu opustíte funkciu Matrix a vrátite sa na hlavný displej kalkulačky.

8. 

   Pomocou inverznej klávesy vyhľadajte inverznú maticu. Najskôr znovu otvorte funkciu Matrix a pomocou tlačidla Názvy vyberte názov matice, ktorý ste použili na zadanie svojej matice (možno je). Ďalej stlačte inverzné tlačidlo kalkulačky. V závislosti od vášho zariadenia bude možno potrebné použiť tlačidlo 2. Zobrazí sa obrazovka. Stlačte kláves Enter a na obrazovke sa zobrazí inverzná matica.
   • Nepoužívajte tlačidlo ^ na počítači, keď sa pokúšate zadať A ^ -1 pomocou jednotlivých kliknutí. Počítače tejto matematike nebudú rozumieť.
   • Ak sa po stlačení inverznej klávesy zobrazí chybové hlásenie, je pravdepodobnejšie, že vaša materská matica nie je reverzibilná. Možno by ste sa mali vrátiť a kvalitatívne zistiť, či je to príčina chyby.

9. 

   Previesť inverznú maticu na správnu odpoveď. Prvý výsledok vrátený počítačom je vyjadrený desatinne. To pre väčšinu účelov nemusí byť nevyhnutne „správna“ odpoveď. Túto desatinnú odpoveď by ste mali v prípade potreby previesť na zlomok (ak budete mať šťastie, všetky vaše výsledky budú celé čísla.
   • Možno má vaša kalkulačka funkciu, ktorá automaticky prevádza desatinné miesta na zlomky. Napríklad pri použití TI-86 môžete prejsť na matematickú funkciu, zvoliť Rôzne, potom Frac a stlačiť Enter. Desatinné miesta sa budú automaticky zobrazovať ako zlomky.
10. Väčšina grafických kalkulačiek má hranaté zátvorky (pre TI-84, to je 2nd + x a 2nd + -), ktoré vám umožňujú zadať maticu bez použitia funkcie matice. Poznámka: Kalkulačka nemusí formátovať maticu, kým sa nepoužije kláves Enter / Equal (čo znamená, že všetko bude na rovnakom riadku a nebude príliš pekné). reklama

Rada

• Podľa týchto krokov môžete nájsť inverznú maticu, ktorá obsahuje nielen čísla, ale aj premenné, neznáme alebo dokonca algebraické výrazy.
• Zapíšte si všetky kroky, pretože nájsť inverziu matice 3x3 iba matematikou je nesmierne ťažké.
• Existujú programy kalkulačky, ktoré vám pomôžu nájsť inverzné matice, a to až do rozmerov 30x30 matíc.
• Bez ohľadu na použitú metódu skontrolujte presnosť výsledku vynásobením M číslom M. Potvrdíte, že M * M = M * M = I. Kde, I je jednotková matica , sa skladá z prvkov 1 umiestnených pozdĺž hlavnej uhlopriečky a núl inde. Ak nedosahujete také výsledky, určite ste sa niekde pokazili.

Výstraha

• Nie všetky matice 3x3 majú inverzné matice. Ak je determinant 0, táto matica nie je reverzibilná (všimnite si, že vo vzorci vydelíme det (M). Delenie nulou je nedefinovaná operácia).