Faktorové kvadratické rovnice

Video: jak vyřešit nefaktorovatelnou kvadratickou kongruenci

Obsah

Na krok
Začiatok
Metóda 1 zo 6: Pokusy a chyby
Metóda 2 zo 6: Rozklad
Metóda 3 zo 6: Triple Play
Metóda 4 zo 6: Rozdiel medzi dvoma štvorcami
Metóda 5 zo 6: Vzorec ABC
Metóda 6 zo 6: Používanie kalkulačky
Tipy
Varovania
Nevyhnutnosť

Polynóm obsahuje premennú (x) na určitú mocnosť a niekoľko výrazov a / alebo konštánt. Ak chcete zohľadniť polynóm, budete musieť výraz rozdeliť na menšie výrazy, ktoré sa vynásobia. To si vyžaduje určitú úroveň matematiky, a preto môže byť ťažké ho pochopiť, ak ešte nie ste tak ďaleko.

Na krok

Začiatok

Rovnica. Štandardný formát pre kvadratickú rovnicu je:

sekera + bx + c = 0
Začnite usporiadaním výrazov vo svojej rovnici od najvyššieho po najnižší výkon. Napríklad:

6 + 6x + 13x = 0
Tento výraz zmeníme poradie, aby sa s ním ľahšie pracovalo - jednoduchým presunutím výrazov:

6x + 13x + 6 = 0
Vyhľadajte faktory pomocou jednej z metód uvedených nižšie. Faktorovanie polynómu bude mať za následok dva menšie výrazy, ktoré je možné vynásobiť, čím sa získa pôvodný polynóm:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
V tomto príklade sú (2x +3) a (3x + 2) faktorov z pôvodného výrazu, 6x + 13x + 6.
Skontrolujte svoju prácu! Znásobte nájdené faktory. Skombinujte rovnaké pojmy a máte hotovo. Začnite s:

(2x + 3) (3x + 2)
Poďme to otestovať a množiť výrazy pomocou EBBL (prvý - vonkajší - vnútorný - posledný), ktorý nám dá:

6x + 4x + 9x + 6
Teraz sčítame 4x a 9x, pretože sú si rovné. Vieme, že faktory sú správne, pretože dostaneme späť rovnicu, s ktorou sme začali:

6x + 13x + 6

Metóda 1 zo 6: Pokusy a chyby

Ak máte pomerne jednoduchý polynóm, môžete hneď vidieť, aké sú faktory. Napríklad po určitej praxi je veľa matematikov schopných výraz vidieť 4x + 4x + 1 má faktory (2x + 1) a (2x + 1) jednoducho preto, lebo to videli toľkokrát. (Pri zložitejších polynómoch to samozrejme nebude také ľahké.) Zoberme si pre tento príklad menej štandardný výraz:

3x + 2x - 8

Zapíšte si faktory a termín a c termín. Použite formát sekera + bx + c = 0, rozpoznať a a c podmienky a všimnite si, ktoré faktory existujú. Pre 3x + 2x - 8 to znamená:

a = 3 a má 1 pár faktorov: 1 * 3
c = -8 a toto má 4 páry faktorov: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 a -1 * 8.
Dva páry zátvoriek zapíšte na prázdne miesto. Tu zadáte konštanty každého výrazu:

(x) (x)
Vyplňte medzeru pred x niekoľkými možnými faktormi a hodnotu. Pre a v našom príklade 3x, existuje iba 1 možnosť:

(3x) (1x)
Vyplňte 2 medzery za x niekoľkými faktormi pre konštanty. Predpokladajme, že zvolíme 8 a 1. Zadajte toto:

(3x8)(X1)
Určte, ktoré znamienka (plus alebo mínus) by mali byť medzi premennými x a číslami. Podľa znakov pôvodného výrazu je možné zistiť, aké by mali byť znaky konštánt. Zoberme si dve konštanty týchto dvoch faktorov h a k spomenúť:

Ak ax + bx + c potom (x + h) (x + k)
Ak ax - bx - c alebo ax + bx - c potom (x - h) (x + k)
Ak ax - bx + c potom (x - h) (x - k)
V našom príklade 3x + 2x - 8 je znamienko: (x - h) (x + k), čo nám dáva nasledujúce dva faktory:

(3x + 8) a (x - 1)
Otestujte svoju voľbu s násobením prvý - vonkajší - vnútorný - posledný. Krátky prvý test, aby sa zistilo, či je strednodobý termín aspoň správna hodnota. Ak nie, potom máte pravdepodobne nesprávny c vybrané faktory. Vyskúšajme odpoveď:

(3x + 8) (x - 1)
Násobením dostaneme:

3x - 3x + 8x - 8
Zjednodušte tento výraz pridaním podobných výrazov (-3x) a (8x) a dostaneme:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Teraz vieme, že sme vzali nesprávne faktory:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
V prípade potreby zmeňte možnosti. V našom príklade skúsme namiesto 1 a 8 2 a 4:

(3x + 2) (x - 4)
Teraz náš c termín rovný -8, ale vonkajší / vnútorný súčin (3x * -4) a (2 * x) je -12x a 2x, čo nie je správny b termín alebo + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
V prípade potreby poradie obráťte. Skúsme otočiť 2 a 4:

(3x + 4) (x - 2)
Teraz náš c termín (4 * 2 = 8) a stále v poriadku, ale vonkajšie / vnútorné produkty sú -6x a 4x. Keď ich skombinujeme, dostaneme:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Teraz sa dostávame pekne blízko k 2x tam, kde chceme byť, ale značka ešte nie je správna.
V prípade potreby znova skontrolujte svoje postavy. Ponechávame toto poradie, ale zamieňame ho so znamienkom mínus:

(3x - 4) (x + 2)
Teraz c termín stále v poriadku a vonkajšie / vnútorné výrobky sú teraz (6x) a (-4x). Pretože:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Teraz vidíme pozitívum 2x späť z pôvodného problému. To musia byť správne faktory.

Metóda 2 zo 6: Rozklad

Táto metóda poskytuje všetky možné faktory a a c a používa ich na zistenie, ktoré faktory sú správne. Ak sú čísla veľmi veľké alebo bude hádanie iných metód trvať príliš dlho, použite tento spôsob. Príklad:

6x + 13x + 6

Vynásobte a termín s c termín. V tomto príklade a je 6 a c je tiež 6.

6 * 6 = 36
Nájsť b termíne faktorizáciou a testovaním. Hľadáme 2 čísla, ktoré sú faktormi a * c a spolu b volebné obdobie (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Nahraďte dve čísla, ktoré získate v rovnici, súčtom čísla b termín. Poďme k a h reprezentovať 2 čísla, ktoré máme, 4 a 9:

sekera + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Faktor polynóm zoskupením. Usporiadajte rovnicu tak, aby ste mohli oddeliť najväčší spoločný deliteľ prvých dvoch výrazov a posledných dvoch výrazov. Oba faktory by mali byť rovnaké. Pridajte GGD dohromady a umiestnite ich do zátvoriek vedľa faktorov; vo výsledku získate dva faktory:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

Metóda 3 zo 6: Triple Play

Podobne ako pri metóde rozkladu. Metóda „triple play“ skúma možné faktory súčinu produktu a a c a pomocou nej zistiť čo b musí byť. Vezmite rovnicu ako príklad:

8x + 10x + 2

Vynásobte a termín s c termín. Rovnako ako pri metóde rozkladu, aj túto používame na určenie kandidátov na b termín. V tomto príklade: a je 8 a c je 2.

8 * 2 = 16
Nájdite dve čísla s týmto číslom ako súčin a so súčtom rovnajúcim sa b termín. Tento krok je rovnaký ako metóda rozkladu - testujeme kandidáty na konštanty. Produktom a a c podmienky je 16, a c termín je 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Vezmite tieto 2 čísla a nahraďte ich vzorcom „triple play“. Vezmite 2 čísla z predchádzajúceho kroku - poďme ich získať h a k zavolajte im - a vložte ich do výrazu:

((sekera + h) (sekera + k)) / a

Týmto získame:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Pozrite sa, ktorý z dvoch výrazov v menovateli možno úplne rozdeliť a. V tomto príklade sa pozeráme na to, či (8x + 8) alebo (8x + 2) možno vydeliť 8. (8x + 8) je deliteľné 8, takže tento výraz vydelíme a a druhú necháme nedotknutú.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Pojem, ktorý sme tu ponechali, zostáva ten, ktorý zostane po vydelení a termín: (x + 1)
Ak je to možné, vezmite najväčší spoločný deliteľ (gcd) z jedného alebo z obidvoch výrazov. V tomto príklade vidíme, že druhý člen má gcd 2, pretože 8x + 2 = 2 (4x + 1). Spojte túto odpoveď s výrazom, ktorý ste objavili v predchádzajúcom kroku. Toto sú faktory vášho porovnania.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metóda 4 zo 6: Rozdiel medzi dvoma štvorcami

Niektoré koeficienty v polynóme poznáte ako „štvorce“ alebo tiež ako súčin 2 rovnakých čísel. Zistením, ktoré štvorce sú, budete môcť oveľa viac faktorovať polynómy. Berieme rovnicu:

27x - 12 = 0

Ak je to možné, odstráňte gcd z rovnice. V tomto prípade vidíme, že 27 a 12 sú deliteľné 3, takže ich môžeme umiestniť osobitne:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Určte, či sú koeficienty vašej rovnice druhé mocniny. Pri použití tejto metódy je potrebné určiť koreň pojmov. (Upozorňujeme, že sme vynechali znamienka mínus - pretože tieto čísla sú štvorce, môžu byť súčinom 2 záporných čísel.)

9x = 3x * 3x a 4 = 2 * 2
Pomocou druhej odmocniny, ktorú ste určili, môžete teraz zapísať faktory. Berieme a a c hodnoty z predchádzajúceho kroku: a = 9 a c = 4, takže korene toho sú: - √a = 3 a √c = 2. Toto sú koeficienty faktorizovaných výrazov:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metóda 5 zo 6: Vzorec ABC

Ak sa zdá, že nič nefunguje a nemôžete vyriešiť rovnicu, použite vzorec abc. Vezmite si nasledujúci príklad:

x + 4x + 1 = 0

Zadajte príslušné hodnoty do vzorca abc:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Teraz dostaneme výraz:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Vyriešte x. Teraz by ste mali dostať 2 hodnoty pre x. Sú to:

x = -2 + √ (3) alebo x = -2 - √ (3)
Na určenie faktorov použite hodnoty x. Zadajte hodnoty x získané v dvoch rovniciach ako konštanty. Toto sú vaše faktory. Ak odpovieme na tieto dva h a k tieto dva faktory zapíšeme nasledovne:

(x - h) (x - k)
V takom prípade je konečná odpoveď:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metóda 6 zo 6: Používanie kalkulačky

Ak je povolené (alebo povinné) používať grafickú kalkulačku, robí to faktoring oveľa ľahším, najmä pri skúškach a skúškach. Nasledujúce pokyny sú určené pre grafickú kalkulačku TI. Použijeme rovnicu z príkladu:

y = x - x - 2

Zadajte rovnicu do svojej kalkulačky. Budete používať nástroj na riešenie rovníc, ktorý sa tiež nazýva obrazovka [Y =].
Rovnicu zakreslite do grafu pomocou kalkulačky. Po zadaní rovnice stlačte [GRAPH] - mala by sa teraz zobraziť zakrivená čiara, parabola ako grafické znázornenie vašej rovnice (a je to parabola, pretože máme do činenia s polynómom).
Nájdite miesto, kde sa parabola pretína s osou x. Pretože sa kvadratická rovnica tradične píše ako ax + bx + c = 0, sú to dve hodnoty x, vďaka ktorým sa rovnica rovná nule:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Ak nevidíte, kde sa parabola pretína s osou x, stlačte [2.] a potom [TRACE]. Stlačte [2] alebo zvoľte „nula“. Posuňte kurzor doľava od križovatky a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor napravo od križovatky a stlačte [ENTER]. Posuňte kurzor čo najbližšie k priesečníku a stlačte [ENTER]. Kalkulačka bude označovať hodnotu x. Urobte to aj pre druhú križovatku.
Zadajte získané hodnoty x do dvoch faktorizovaných výrazov. Ak vezmeme dve hodnoty x h a k ako výraz vyzerá výraz, ktorý používame, takto:

(x - h) (x - k) = 0
Naše dva faktory sa teda stanú:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tipy

Ak ste zohľadnili polynóm pomocou vzorca abc a vaša odpoveď obsahuje korene, môžete hodnoty x previesť na zlomky a skontrolovať ich.
Ak člen nemá pred sebou žiadny koeficient, potom je koeficient rovný 1, napr. X = 1x.
Ak máte kalkulačku TI-84, existuje program s názvom SOLVER, ktorý za vás dokáže vyriešiť kvadratickú rovnicu. Rieši tiež polynómy vyššieho stupňa.
Po mnohých cvičeniach budete nakoniec schopní vyriešiť polynómy naspamäť. Pre istotu je však lepšie ich vždy vypísať.
Ak pojem neexistuje, koeficient je nula. Potom môže byť užitočné rovnicu prepísať. Napr. x + 6 = x + 0x + 6.

Varovania

Ak sa tento koncept učíte na hodinách matematiky, venujte pozornosť tomu, čo učiteľ vysvetľuje, a nepoužívajte iba svoju obľúbenú metódu. Môže sa stať, že budete požiadaní, aby ste na test použili konkrétnu metódu, inak nemusia byť povolené grafické kalkulačky.