Výpočet druhej odmocniny čísla bez kalkulačky

Video: Find Square Root by Hand without Calculator

Obsah

Na krok
Metóda 1 z 2: Ťahanie koreňov s prvočíselnými faktormi
Metóda 2 z 2: Nájdenie druhej odmocniny bez kalkulačky
S dlhým delením
Pochopte postup
Tipy
Varovania

Pred príchodom kalkulačiek museli študenti aj profesori počítať odmocniny perom a papierom. V tom čase boli vyvinuté rôzne techniky na zvládnutie tejto niekedy zložitej práce, z ktorých niektoré poskytujú hrubý odhad a iné vypočítavajú presnú hodnotu. Čítajte ďalej a dozviete sa, ako nájsť druhú odmocninu čísla v niekoľkých jednoduchých krokoch.

Na krok

Metóda 1 z 2: Ťahanie koreňov s prvočíselnými faktormi

Rozdeľte svoje číslo na výkonové faktory. Táto metóda využíva na nájdenie druhej odmocniny čísla koeficienty čísla (v závislosti od čísla to môže byť presná odpoveď alebo odhad). The faktorov daného čísla sú ľubovoľné postupnosti čísel, ktoré sa vynásobia tak, aby vytvorili dané číslo. Môžete napríklad povedať, že faktory 8 sa rovnajú 2 a 4, pretože 2 × 4 = 8. Perfektné štvorce sú naopak celé čísla, ktoré sú produktom iných celých čísel. Napríklad 25, 36 a 49 sú dokonalé štvorce, pretože sa rovnajú 5, 6 a 7. Druhé výkonové faktory, ako ste pochopili, sú faktory, ktoré sú tiež dokonalými štvorcami. Ak chcete nájsť druhú odmocninu pomocou prvočíselných faktorov, najskôr sa pokúste rozdeliť číslo na jeho druhé výkonové faktory.
- Vezmite si nasledujúci príklad. Nájdeme druhú odmocninu 400. Na začiatok rozdelíme číslo na výkonové faktory. Pretože 400 je násobok 100, vieme, že je to rovnomerne deliteľné číslom 25 - dokonalý štvorec. Rýchle vysvetlenie hovorí, že 400/25 = 16,16 je tiež perfektným štvorcom. Takže kockové faktory 400 sú 25 a 16 pretože 25 × 16 = 400.
- Píšeme to ako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Vezmite druhú odmocninu vašich druhých výkonových faktorov. Pravidlo súčinu druhých odmocnín hovorí, že pre dané číslo a a b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Kvôli tejto vlastnosti teraz môžeme získať druhú odmocninu faktorov druhej mocniny a vynásobiť ich spolu, aby sme dostali odpoveď.
- V našom príklade vezmeme odmocniny 25 a 16. Pozri nižšie:
  - Sqrt (25 × 16)
  - Sqrt (25) × Sqrt (16)
  - 5 × 4 = 20
Ak vaše číslo nie je možné dokonale spočítať, zjednodušte ho. V skutočnosti čísla, z ktorých chcete určiť druhú odmocninu, nebudú pekné zaoblené čísla s peknými štvorcami ako 400. V týchto prípadoch nemusí byť možné získať ako odpoveď celé číslo. Namiesto toho pomocou všetkých energetických faktorov, ktoré nájdete, môžete určiť odpoveď ako menšiu a ľahšie použiteľnú druhú odmocninu. Urobíte to tak, že počet znížite na kombináciu výkonových faktorov a ďalších faktorov a potom ho zjednodušíte.
- Ako príklad si vezmeme druhú odmocninu 147. 147 nie je produktom dvoch dokonalých štvorcov, takže nemôžeme získať peknú celočíselnú hodnotu. Ale je to produkt dokonalého štvorca a iného čísla - 49 a 3. Tieto informácie môžeme použiť na napísanie našej odpovede v najjednoduchších termínoch:
  - Sqrt (147)
  - = Sqrt (49 × 3)
  - = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  - = 7 × štvorec (3)
Ak je to potrebné, zjednodušte to. Ak použijeme druhú odmocninu v najjednoduchších termínoch, je zvyčajne celkom ľahké získať hrubý odhad odpovede odhadom zostávajúcich druhých odmocnín a ich vynásobením. Jedným zo spôsobov, ako vylepšiť svoje odhady, je nájsť dokonalé štvorce na oboch stranách čísla v druhej odmocnine. Viete, že desatinná hodnota čísla vo vašej druhej odmocnine je niekde medzi týmito dvoma číslami, takže váš odhad bude musieť byť tiež medzi týmito číslami.
- Vráťme sa k nášmu príkladu. Pretože 2 = 4 a 1 = 1, vieme, že Sqrt (3) je medzi 1 a 2 - pravdepodobne bližšie k 2 ako 1. Odhadujeme, že 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Ak to skontrolujeme pomocou kalkulačky, zistíme, že sme dosť blízko odpovede: 12,13.
  - Toto funguje aj pre väčšie čísla. Napríklad sqrt (35) je zhruba medzi 5 a 6 (pravdepodobne bližšie k 6). 5 = 25 a 6 = 36,35 je medzi 25 a 36, takže druhá odmocnina bude medzi 5 a 6. Pretože 35 je tesne pod 36, môžeme s istotou povedať, že druhá odmocnina len je menej ako 6. Kontrola pomocou kalkulačky nám dáva odpoveď asi 5,92 - mali sme pravdu.
Ako prvý krok môžete počet čísel zjednodušiť na najmenší spoločný násobok. Hľadanie výkonových faktorov nie je potrebné, ak môžete ľahko nájsť prvočíselné faktory čísla (faktory, ktoré sú zároveň prvočíslami súčasne). Číslo napíšte ako najmenšie bežné násobky. Potom vyhľadajte medzi svojimi faktormi zhodu párov prvočísel. Keď nájdete dva hlavné faktory, ktoré sa zhodujú, odstráňte ich z druhej odmocniny a vložte ich a z týchto čísel mimo znamienka druhej odmocniny.
- Pomocou tejto metódy napríklad určíme druhú odmocninu čísla 45. Vieme, že 45 = 9 × 5 a že 9 = 3 × 3. Môžeme teda písať druhú odmocninu takto: Sqrt (3 × 3 × 5). Jednoducho vymažte 3 a umiestnite 3 za druhú odmocninu, aby ste získali zjednodušenú druhú odmocninu: (3) Sqrt (5). Teraz môžete ľahko urobiť odhad.
- Posledný príklad; určíme druhú odmocninu z 88:
  - Sqrt (88)
  - = Sqrt (2 × 44)
  - = Sqrt (2 × 4 × 11)
  - = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Máme niekoľko 2 v druhej odmocnine. Pretože 2 je prvočíslo, môžeme odstrániť pár a umiestniť 2 mimo koreň.
  - = Naša druhá odmocnina v najjednoduchších termínoch je (2) Sqrt (2 × 11) alebo (2) Námestie (2) Námestie (11). Teraz môžeme priblížiť Sqrt (2) a Sqrt (11) a nájsť približnú odpoveď, ak by sme chceli.

Metóda 2 z 2: Nájdenie druhej odmocniny bez kalkulačky

S dlhým delením

Rozdeľte číslice svojho čísla na páry. Táto metóda je podobná dlhému deleniu, ktoré vám umožňuje rozdeliť presne druhá odmocnina čísla číslica po číslici. Aj keď to nie je nevyhnutné, rozdelenie čísla na uskutočniteľné kúsky môže uľahčiť riešenie, najmä ak je dlhé. Najskôr nakreslite zvislú čiaru rozdeľujúcu pracovnú plochu na 2 oblasti, potom kratšiu čiaru blízko hornej časti pravej oblasti a rozdeľte ju na menšiu hornú časť a väčšiu časť pod ňou. Potom rozdeľte číslo na dvojice čísel začínajúce od desatinnej čiarky. Podľa tohto pravidla sa z čísla 79520789182,47897 stáva „7 95 20 78 91 82,47 89 70“. Toto číslo napíš do ľavej hornej oblasti.
- Ako príklad si vypočítajme druhú odmocninu z 780,14. Rozdeľte svoj pracovný priestor tak, ako je uvedené vyššie, a do ľavého horného rohu napíšte „7 80, 14“. Je v poriadku, ak je úplne zľava iba jedno číslo namiesto dvoch. Potom napíšete odpoveď (druhá odmocnina z 780,14) v hornej časti pravej oblasti.
Nájdite najväčšie celé číslo n ktorého štvorec je menší alebo rovnaký ako číslica alebo číslo najviac vľavo. Nájdite najväčší štvorček, ktorý je menší alebo rovný tomuto číslu, a potom nájdite druhú odmocninu tohto štvorca. Toto číslo je n. Napíš to do pravej hornej oblasti a do druhého kvadrantu tejto oblasti napíš štvorec n.
- V našom príklade je číslica úplne zľava číslo 7. Pretože vieme, že 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, môžeme povedať, že n = 2, pretože toto je najväčšie celé číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný 7. Napíšte 2 do pravého horného kvadrantu. Toto je prvá číslica odpovede. Do pravého dolného kvadrantu napíšte 4 (štvorec 2). Toto číslo je dôležité pre ďalší krok.
Odpočítajte počet, ktorý ste vypočítali číslice alebo čísla úplne vľavo. Rovnako ako v prípade dlhého delenia, ďalším krokom je odpočítanie štvorca od čísla, ktoré sme práve použili na výpočet. Napíšte toto číslo pod číslo najviac vľavo a odčítajte ich. Odpoveď napíš nižšie.
- V našom príklade napíšeme 4 pod 7 a odčítame. Toto dáva 3 v odozve.
Posuňte nasledujúce číslo nadol. Toto umiestnite vedľa hodnoty, ktorú ste našli v predchádzajúcej úprave. Vynásobte číslo vpravo hore dvoma a vpravo dole si ho zapíšte. Vedľa čísla, ktoré ste si práve napísali, ponechajte miesto pre sumu, ktorú urobíte v ďalšom kroku. Sem napíšte „_ × _ =“ “.
- V našom príklade je ďalšie číslo „80“. Napíš „80“ vedľa 3 v ľavom kvadrante. Potom vynásobte číslo vpravo hore číslom 2. Toto číslo je 2, teda 2 × 2 = 4. Napíš dole „„ 4 ““ vpravo dole a potom _×_=.
Zadajte čísla vpravo. Do prázdneho priestoru súčtu (vpravo) zadajte najväčšie celé číslo, ktoré spôsobí, že výsledok multiplikačného súčtu vpravo bude menší alebo rovný aktuálnemu číslu vľavo.
- V našom príklade zadáme 8 a tým dostaneme 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To je väčšie ako 380. Takže 8 je príliš veľká, ale 7 asi nie. Vyplňte 7 a vyriešte: 4 (7) × 7 = 329. 7 je dobré, pretože 329 je menej ako 380. Napíš 7 vpravo hore. Toto je druhá číslica v druhej odmocnine čísla 780.14.
Od aktuálneho čísla vľavo odčítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali. Takže od aktuálnej odpovede vľavo odčítate výsledok násobenia vpravo. Svoju odpoveď napíš priamo pod ňu.
- V našom príklade odčítame 329 od 380, a to dáva 51 ako výsledok.
Zopakujte krok 4. Ďalšia dvojica čísel sa posunie z 780,14 nadol. Keď prídete k čiarke, napíšte ju do odpovede vpravo. Potom vynásobte pravé horné číslo číslom 2 a napíšte odpoveď vedľa („_ × _“), ako je uvedené vyššie.
- V našej odpovedi teraz píšeme čiarku, pretože sa s tým stretávame aj v 780.14. Nasledujúci pár (14) posuňte nadol do ľavého kvadrantu. 27 x 2 = 54, takže do pravého dolného kvadrantu napíšeme „54 _ × _ =“.
Zopakujte kroky 5 a 6. Vľavo vyhľadajte najväčšie číslo, ktoré dáva odpoveď, ktorá je menšia alebo rovná aktuálnemu číslu. Vyriešiť.
- V našom príklade 549 × 9 = 4941, čo je menej alebo rovnaké ako číslo vľavo (5114). 549 × 10 = 5490, čo je príliš veľa, takže 9 je naša odpoveď. Napíšte 9 ako ďalšie vpravo hore číslo a odčítajte výsledok násobenia od ľavého čísla: 5114 -4941 = 173.
Aby bol výsledok presný, opakujte predchádzajúci postup, kým nenájdete odpoveď s požadovaným počtom desatinných miest (stotiny, tisíciny).

Pochopte postup

Zvážte číslo, ktorého druhú odmocninu chcete vypočítať, ako plochu S druhej mocniny. Pretože plocha štvorca je L, kde L je dĺžka jednej z jeho strán, takže nájdením druhej odmocniny vášho čísla sa pokúsite vypočítať dĺžku L strany tohto štvorca.
Každej číslici svojej odpovede dajte písmeno. Zadajte premennú A ako prvú číslicu L (druhá odmocnina, ktorú sa snažíme vypočítať). B je druhá číslica, C tretia atď.
Dajte písmeno každému „páru čísel“ čísla, od ktorého začínate. Dajte premennú S_a k prvej dvojici číslic v S (počiatočná hodnota), S._b na druhý pár číslic atď.
Pochopte vzťah medzi touto metódou a dlhým delením. Táto metóda hľadania druhej odmocniny je v podstate dlhé delenie, kedy počiatočnú hodnotu vydelíte druhou odmocninou a ako odpoveď „dáte“ druhú odmocninu. Rovnako ako v prípade dlhého delenia, kde vás zaujíma iba nasledujúca číslica súčasne, zaujímajú vás iba nasledujúce dve číslice súčasne (čo zodpovedá nasledujúcej číslici druhej odmocniny).
Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný S._a je. Prvá číslica A v našej odpovedi je potom najväčšie celé číslo, ktorého štvorec nie je väčší ako S._a (A také, že A² ≤ Sa (A + 1) ²). V našom príklade S_a = 7 a 2² ≤ 7 3², takže A = 2.
- Upozorňujeme, že ak rozdelíte 88962 na 7 pomocou dlhého delenia, prvý krok je rovnaký: najskôr sa vysporiadate s prvou číslicou 88962 (8) a chcete, aby sa najväčšia číslica vynásobila 7, ktorá je menšia alebo rovná 8. V podstate vy určiť d také, že 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). V tomto prípade sa d rovná 1.
Vizualizujte štvorec, ktorého oblasť chcete nájsť. Vaša odpoveď, druhá odmocnina počiatočnej hodnoty, je L, ktorá popisuje dĺžku štvorca s plochou S (počiatočná hodnota). Hodnoty A, B a C predstavujú číslice v hodnote L. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že pre dvojmiestnu odpoveď 10A + B = L a pre trojcifernú odpoveď 100A + 10B + C = L atď.
- V našom príklade (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pamätajte, že 10A + B predstavuje našu odpoveď L spolu s B v pozícii jednotiek a A v pozícii desiatok. Napríklad ak A = 1 a B = 2, potom 10A + B je číslo 12. (10 A + B) ² je plocha celého námestia, zatiaľ čo 100 A² je plocha najväčšieho vnútorného námestia, B² je plocha najmenšieho štvorca a 10A × B je plocha každého zo zostávajúcich obdĺžnikov. Pomocou tohto dlhého a komplikovaného postupu môžeme nájsť plochu celého štvorca pridaním plôch štvorcov a obdĺžnikov, ktoré sú jeho súčasťou.
Odpočítajte A² od S._a. Prineste dvojicu čísel (S._b) dole z čísla S. S._a S._b je takmer celková plocha štvorca, od ktorého ste práve odpočítali plochu najväčšieho vnútorného štvorca. Zvyšok predstavuje povedzme číslo N1, ktoré sme získali v kroku 4 (N1 = 380 v našom príklade). N1 sa rovná 2 × 10A × B + B² (plocha 2 obdĺžnikov plus plocha malého štvorca).
Pozrite sa na N1 = 2 × 10A × B + B², tiež napísané ako N1 = (2 × 10A + B) × B. V našom príklade už poznáte N1 (380) a A (2), takže teraz musíte nájsť B. B pravdepodobne nie je celé číslo, takže musíte vlastne nájdite najväčšie celé číslo B také, aby (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Takže teraz máte: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Vyriešte rovnicu. Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, vynásobte A 2, posuňte ju na desať (vynásobte 10), vložte B do jednotiek a výsledok vynásobte B. Inými slovami, (2 × 10A + B) × B. Toto je presne to, čo robíte, keď v kroku 4 napíšete „N_ × _ =“ (s N = 2 × A) do pravého dolného kvadrantu. V kroku 5 určíte najväčšie celé číslo B, ktoré sa zmestí pod riadok, teda (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
Odčítajte plochu (2 × 10A + B) × B od celkovej plochy. Takto získate oblasť S- (10A + B) ², ktorú ste doposiaľ nebrali do úvahy (a ktorú použijete na výpočet nasledujúcich čísel rovnakým spôsobom).
Pre výpočet ďalšej číslice C opakujte postup. Presuňte nasledujúcu dvojicu čísel od S nadol (S_c) dostanete N2 doľava a vyhľadajte najväčšie C, aby ste teraz mali: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (rovná sa dvojnásobku dvojciferného čísla „AB“) by "_ × _ =" Teraz určite najväčšie číslo, ktoré tu môžete zadať, čím získate odpoveď, ktorá je menšia alebo rovná N2.

Tipy

Posunutie čiarky o dve miesta (faktor 100) posunie čiarku v zodpovedajúcej druhej odmocnine o jedno miesto (faktor 10).
V príklade možno 1,73 považovať za „zvyšok“: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Táto metóda funguje pre akýkoľvek číselný systém, nielen pre desatinnú (desatinnú) sústavu.
Nebojte sa umiestniť výpočty tam, kam chcete. Niektorí ľudia to píšu nad číslo, z ktorého chcú vypočítať druhú odmocninu.
Alternatívna metóda je nasledujúca: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Napríklad pre výpočet druhej odmocniny 780,14 vezmite celé číslo, ktorého druhá odmocnina je najbližšie k 780,14 (28), teda = 780,14, x = 28 a y = -3,86. Vyplnenie a odhad nám dá x + y / (2x) a to dá (zjednodušené výrazy) 78207/2800 alebo asi 27,931 (1); nasledujúci termín, 4374188/156607 alebo približne 27,930986 (5). Každý výraz pridáva k predchádzajúcemu desatinnému miestu presnosť.