Obsah

• Na krok
• 1. metóda z 2: Dĺžka strán pravého trojuholníka
• Metóda 2 z 2: Vypočítajte vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine
• Tipy

Pytagorova veta popisuje dĺžku strán pravého trojuholníka spôsobom, ktorý je taký elegantný a praktický, že je stále veľmi používaný. Toto udáva, že pre akýkoľvek pravý trojuholník sa súčet štvorcov rovných strán rovná štvorcu prepočtu. Inými slovami, pre pravý trojuholník (trojuholník so stranami kolmými na seba) so stranami dĺžky a a b a preponou dĺžky c: a + b = c. Pytagorova veta je jedným z pilierov geometrie a má množstvo praktických aplikácií - napríklad pomocou tejto vety je veľmi ľahké nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovnej rovine.

Na krok

1. metóda z 2: Dĺžka strán pravého trojuholníka

1. Skontrolujte, či máte do činenia s pravým trojuholníkom. Pytagorova veta sa dá použiť iba s pravouhlými trojuholníkmi, takže predtým, ako budete pokračovať, je dôležité overiť si, či váš trojuholník zodpovedá definícii pravého trojuholníka. Našťastie je v tejto súvislosti rozhodujúci iba jeden faktor - jeden z uhlov trojuholníka musí byť 90-stupňový.
   • Ako vodítko, pravé uhly sú často označené malou štvorcovou zátvorkou, ktorá naznačuje, že ide o 90-stupňový uhol. Skontrolujte, či je v jednom z rohov vášho trojuholníka taká zátvorka.
2. Priraďte premenné a, bac po stranách vášho trojuholníka. V Pytagorovej vete sa premenné a a b vzťahujú na pravú stranu vášho trojuholníka a premenné c na preponu - dlhá strana oproti pravému uhlu. Takže na začiatok priraďte premenné a a b (na poradí nezáleží) priamym stranám a c pri hypotenuse.
3. Určte, ktorú stranu trojuholníka chcete vedieť. Pytagorova veta umožňuje zistiť dĺžku každej strany trojuholníka za predpokladu, že sú známe dve jeho strany. Určte, ktorá zo strán má neznámu dĺžku - a, ba / alebo c. Ak nie je známy iba jeden, môžete pokračovať.
   • Predpokladajme, že vieme, že prepona má dĺžku 5 a jedna z ďalších strán má dĺžku 3. Dĺžka zvyšnej strany nie je známa. Pretože sú známe dve zo strán, môžeme pristúpiť k výpočtu dĺžky neznámej strany! Tento príklad neskôr použijeme znova.
   • Ak je dĺžka dva strany nie sú známe, musíte určiť dĺžku najmenej jednej ďalšej strany, aby ste mohli používať Pytagorovu vetu. Základné trigonometrické funkcie vám môžu pomôcť, ak poznáte jeden z ďalších nepravých uhlov trojuholníka.
4. Vypočítajte pomocou rovnice a ľudí, ktorých poznáte. Zadajte hodnoty pre dĺžku strán vášho trojuholníka do rovnice a + b = c. Pamätajte, že a a b sú rovné strany a c je prepona.
   • V našom príklade poznáme dĺžku jednej strany a dĺžku prepony (3 a 5), ​​preto našu rovnicu napíšeme takto: 3² + b² = 5²
5. Vypočítajte štvorce. Ak chcete vyriešiť svoju rovnicu, začnite štvorčekom každej zo známych strán. Ak sa vám to zdá jednoduchšie, môžete nechať moc a neskôr ju iba umocniť.
   • V našom príklade zaokrúhlime 3 a 5, aby sme získali resp. 9 a 25 získať. Teraz môžeme rovnicu prepísať na 9 + b² = 25.
6. Izolovajte neznámu premennú na jednej strane znamienka rovnosti. Ak je to potrebné, použite štandardné algebraické operácie na to, aby ste dostali neznámu na jednu stranu znamienka rovnosti a štvorce na druhú. Ak sa snažíte nájsť preponu, potom c vo vete je už na jednej strane, takže môžete tento krok preskočiť.
   • V našom príklade je teraz rovnica 9 + b² = 25. Aby sme izolovali výraz b & sup2, odčítame 9 od oboch strán rovnice. Toto nám ponecháva b² = 16.
7. Vezmeme druhú odmocninu oboch strán rovnice. Teraz by ste mali mať štvorec (premennú) na jednej strane rovnice a číslo na druhej strane. Teraz potiahnite druhú odmocninu oboch strán a nájdite dĺžku neznámeho.
   • V našom príklade b² = 16 je rovnica po zakorenení štvorca b = 4. Môžeme teda povedať, že dĺžka neznámej strany nášho trojuholníka sa rovná 4.
8. Využite Pytagorovu vetu v praxi. Pytagorova veta sa používa tak často preto, že je použiteľná na riešenie mnohých praktických problémov. Naučte sa rozpoznávať pravé trojuholníky vo svete okolo vás - všade, kde na jednom alebo viacerých objektoch spoznáte pravý trojuholník, je možné použiť Pythagorovu vetu na zistenie dĺžky jednej zo strán, ak existujú dve strany alebo uhly.
   • Zoberme si príklad zo skutočného sveta. O stenu sa opiera rebrík. Spodná časť rebríka je vzdialená 5 metrov od steny. Rebrík dosahuje 20 metrov od spodnej časti steny. Aký dlhý je rebrík?
     • „5 metrov je vzdialenosť od steny“ a „rebrík je vysoký 20 metrov“. Toto dáva údaj o dĺžke strán trojuholníka. Pretože môžeme predpokladať, že stena a zem tvoria pravý uhol a rebrík je šikmo oproti stene, môžeme toto usporiadanie považovať za pravý trojuholník, ktorého strany majú dĺžku a = 5 a b = 20. Dĺžka rebríka je prepona, neznáma premenná c. Použime Pytagorovu vetu:
       • a² + b² = c²
       • (5) ² + (20) ² = c²
       • 25 + 400 = c²
       • 425 = c²
       • sqrt (425) = c
       • c = 20,6. Dĺžka rebríka je (približná) 20,6 metra.

Metóda 2 z 2: Vypočítajte vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine

1. Definujte dva body v rovine. Pytagorova veta sa dá veľmi ľahko použiť na zistenie priamej vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine. Všetko, čo potrebujete, sú súradnice x a y ľubovoľných dvoch bodov. Tieto súradnice sa zvyčajne zapisujú ako (x, y).
   • Aby sme zistili vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi, považujeme každý z bodov za jeden z vrcholov pravého trojuholníka, ktorý nepatrí do pravého uhla. Takto je veľmi ľahké nájsť dĺžku a a b, po ktorej je možné vypočítať c (prepona a vzdialenosť medzi dvoma bodmi).
2. Nakreslite dva body do grafu. V rovine X-Y je pre každý bod (x, y) x bod na vodorovnej osi x a y je bod na zvislej osi y. Môžete nájsť vzdialenosť medzi týmito dvoma bodmi bez toho, aby ste ich zobrazili v grafoch, ale urobíte tak vizuálny odkaz, pomocou ktorého môžete skontrolovať, či má vaša odpoveď zmysel.
3. Určte dĺžku rovných strán vášho trojuholníka. Keď vezmeme do úvahy vaše dva body ako uhly trojuholníka susediaceho s preponou, môžete zistiť dĺžku strán a a b. Môžete to urobiť pomocou grafu alebo pomocou vzorcov | x₁ - X₂| pre vodorovnú stranu a | y₁ - r₂| pre zvislú stranu, kde (x₁, r₁) je prvý bod a (x₂, r₂) druhý bod.
   • Predpokladajme, že máme body (6,1) a (3,5). Dĺžka vodorovnej strany nášho trojuholníka je:
     • | x₁ - X₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • Dĺžka zvislej strany je:
     • | r₁ - r₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • Môžeme teda povedať, že dĺžka strán nášho pravého trojuholníka sa rovná a = 3 a b = 4.
4. Pomocou Pytagorovej vety nájdite preponu. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je dĺžka prepony trojuholníka. Pomocou Pytagorovej vety nájdite preponu trojuholníka so stranami a, b a c.
   • V našom príklade poznáme body (3,5) a (6,1) a dĺžky strán sú a = 3 a b = 4, takže preponu určujeme takto:

     • (3) ² + (4) ² = c²

       c = štvorcový (9 + 16)

       c = štvorcový (25)

       c = 5. Vzdialenosť medzi (3,5) a (6,1) je 5.

Tipy

• Ak trojuholník nie je pravý trojuholník, nemôžete použiť iba Pytagorovu vetu.
• Prepona je vždy:
  • čiara oproti pravému uhlu
  • najdlhšia strana pravého trojuholníka
  • premenná c v Pytagorovej vete
• sqrt (x) znamená „druhá odmocnina z x“.
• Nezabudnite si vždy skontrolovať svoje odpovede. Ak sa zdá, že odpoveď nie je správna, skontrolujte svoje výpočty alebo začnite odznova.
• Ak poznáte iba jednu stranu trojuholníka, ale aj jeden z ďalších uhlov (potom pravý uhol), najskôr vypočítajte ďalšiu stranu s tým, čo viete o trigonometrii (sin, cos, tan) alebo proporciách 30-60-90 / 45-45-90.
• Ďalšia kontrola - najdlhšia strana je oproti najväčšiemu uhlu a najkratšia strana je oproti najmenšiemu uhlu.