Obsah

• Na krok
• Časť 1 z 3: Základy analýzy
• Časť 2 z 3: Pochopenie derivátov
• Časť 3 z 3: Pochopte integrály
• Tipy

Analýza (tiež nazývaná kalkul) je odvetvie matematiky zamerané na limity, funkcie, derivácie, integrály a nekonečné rady. Tento predmet pokrýva veľké množstvo matematiky a je základom mnohých vzorcov a rovníc používaných vo fyzike a mechanike. Pravdepodobne budete musieť mať na strednej škole niekoľko rokov matematiky, aby ste správne porozumeli analýze, ale tento článok vás naštartuje v učení sa rozoznávania kľúčových pojmov a lepšieho pochopenia teórie.

Na krok

Časť 1 z 3: Základy analýzy

1. Analýza je štúdium toho, ako sa veci menia. Analýza je odvetvie matematiky, ktoré skúma čísla a grafy zvyčajne prevzaté z údajov z reálneho sveta a vysvetľuje, ako sa menia. Aj keď sa to na začiatku nemusí zdať veľmi užitočné, analýza je jedným z najbežnejšie používaných odborov matematiky. Predstavte si, že máte k dispozícii nástroje, ktoré vám povedia, ako rýchlo v danom čase rastie vaše podnikanie, alebo ako zmapovať priebeh vesmírnej lode a ako rýchlo sa spotrebuje palivo. Analýza je dôležitým nástrojom v strojárstve, ekonomike, štatistike, chémii a fyzike a prispela k mnohým vynálezom a objavom.
2. Funkcie sú vzťahy medzi dvoma číslami a používajú sa na mapovanie vzťahov. Sú to pravidlá pre vzťah medzi číslami a matematici ich používajú na tvorbu grafov. Vo funkcii má každý vstup presne jeden výsledok. Napríklad: v ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Popremýšľajte nad konceptom nekonečna. Nekonečno je neustále opakovanie procesu. Nejde o konkrétne miesto (nemôžete ísť do nekonečna), ale skôr o správanie čísla alebo rovnice, ak sa to deje navždy. To je dôležité pre štúdium zmien: možno budete chcieť vedieť, ako rýchlo sa vaše auto pohybuje v danom okamihu, ale je to to, ako rýchlo sa vaše auto pohybuje počas aktuálnej sekundy? Milisekunda? Nanosekundu? Môžete nájsť nekonečne menšie kúsky času, aby ste boli presnejší, a práve vtedy prichádza na rad analýza.
3. Pochopte pojem limity. Limit vám hovorí, čo sa stane, keď sa niečo priblíži k nekonečnu. Vezmite číslo 1 a vydeľte ho 2. Stále vydeľujte 2 a znova. 1 sa stane 1/2 a potom 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 atď. Zakaždým, keď sa číslo bude zmenšovať, bude sa „blížiť“ k nule. Ale kde sa to zastaví? Koľkokrát musíte rozdeliť 1 na 2, aby ste dostali nulu? Namiesto odpovede na túto otázku ste pri analýze nastavili jednu limit V tomto prípade je limit.
   • Limity sú najľahšie vizualizovateľné v grafe - napríklad existujú body, ktorých sa graf takmer dotkne, ale nikdy nie celkom?
   • Limity môžu byť početné, nekonečné alebo dokonca neexistujúce. Napríklad s postupnosťou sčítania 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... a toto bude pokračovať neurčito, konečné číslo sa stane nekonečne veľkým. Limit sa potom stáva nekonečným.
4. Zopakujte si základné matematické koncepty algebry, trigonometrie a základy matematiky. Analýza sa opiera o veľkú časť matematiky, ktorú ste sa už predtým naučili. Ak budete dobre informovaní o všetkých témach, bude oveľa jednoduchšie sa naučiť a porozumieť analýze. Niektoré témy, ktoré je potrebné opracovať, sú:
   • Algebra. Musíte porozumieť rôznym procesom a vedieť vyriešiť rovnice a systémy rovníc s viacerými premennými. Pochopte základné informácie o zbierkach. Precvičte si vytváranie grafov.
   • Geometria. Geometria je štúdium tvarov. Mali by ste mať základné vedomosti o trojuholníkoch, obdĺžnikoch a kruhoch a o tom, ako počítať veci ako obvod a plocha. Pochopte uhly, čiary a súradnice
   • Trigonometria. Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vlastnosťami kruhov a pravouhlých trojuholníkov. Naučte sa používať trigonometrické identity, grafy, funkcie a inverzné trigonometrické funkcie.
5. Kúpte si grafickú kalkulačku. Analýza nie je ľahké pochopiť bez toho, aby ste videli, čo robíte. Grafické kalkulačky robia funkcie vizuálnymi, aby ste mohli lepšie pochopiť, s akými rovnicami máte do činenia. Limity sa často zobrazujú aj na obrazovke a derivácie a funkcie sa počítajú automaticky.
   • Mnoho smartfónov a tabletov dnes ponúka lacné, ale efektívne aplikácie na vytváranie grafov, ak si grafickú kalkulačku nechcete alebo nemôžete kúpiť.

Časť 2 z 3: Pochopenie derivátov

1. Analýza sa používa na štúdium „zmeny v konkrétnom okamihu“. Základom analýzy je vedieť, prečo sa niečo mení v presnom okamihu. Napríklad analýza poskytuje nielen rýchlosť automobilu, ale aj to, ako sa táto rýchlosť v danom okamihu zmení. Toto je jedno z najjednoduchších použití analýzy, ale veľmi dôležité. Predstavte si, aké dôležité sú tieto informácie pri určovaní rýchlosti potrebnej na získanie kozmickej lode na Mesiac!
   • Určenie zmeny v konkrétnom časovom okamihu má odlíšiť. Diferenciácia je prvou z dvoch hlavných vetiev analýzy.
2. Pomocou derivátov pochopte, ako sa veci v danom čase menia. „Derivát“ je pekné slovo pre niečo, čo študentov často znervózňuje. Samotný koncept však nie je také ťažké pochopiť - znamená to len to, „ako rýchlo sa niečo zmení“. Deriváty, s ktorými sa v každodennom živote stretnete najviac, súvisia s rýchlosťou. Väčšinou to však nenazvete „derivát rýchlosti“, ale jednoducho „zrýchlenie“.
   • Zrýchlenie je derivát - hovorí vám, ako rýchlo sa niečo zrýchľuje alebo spomaľuje, alebo ako sa mení jeho rýchlosť.
3. Vedzte, že rýchlosť zmeny sa rovná strmosti medzi dvoma bodmi. Toto je jeden z najdôležitejších objavov analýzy. Rýchlosť zmeny medzi dvoma bodmi sa rovná sklonu priamky medzi týmito dvoma bodmi. Pomysli na jednoduchú priamku, napríklad rovnicu ${ displaystyle y = 3x.}$Vedzte, že môžete určiť sklon zakrivených čiar. Určenie sklonu priamky je pomerne ľahké: koľko sa zmení ${ displaystyle y}$Ak chcete zmenu vypočítať presnejšie, uistite sa, že sú body bližšie k sebe. Čím bližšie vyberiete dva body, tým bude vaša odpoveď presnejšia. Predpokladajme, že chcete vedieť, ako veľmi vaše auto akceleruje, keď stlačíte plynový pedál. Nechcete merať zmenu rýchlosti medzi vašim domom a supermarketom, ale zmenu rýchlosti od chvíle, keď stlačíte plynový pedál. Čím bližšie je vaše čítanie k tejto zlomku sekundy, tým presnejší je výpočet zmeny.
   • Vedci napríklad skúmajú, ako rýchlo niektoré druhy vyhynú, aby ich zachránili. V zime však zomiera viac zvierat ako v lete, takže nie je užitočné skúmať rýchlosť zmeny počas celého roka - je lepšie určiť mieru zmeny v kratšom období, napríklad od 1. júla do 1. augusta.
4. Použite nekonečne krátke čiary na určenie „okamžitej rýchlosti zmeny“ alebo na nájdenie derivácie. Tu často býva analýza trochu mätúca, ale je to vlastne výsledok dvoch jednoduchých faktov. Najskôr viete, že sklon čiary sa rovná tomu, ako rýchlo sa táto čiara mení. Po druhé, viete, že čím sú body priamky bližšie, tým presnejšie bude čítanie. Ako však zistiť rýchlosť zmeny v danom bode, ak je sklon vzťahom medzi dvoma bodmi? Odpoveď: Vyberiete si dva body, ktoré sú nekonečne blízko pri sebe.
   • Zvážte príklad, keď stále vydeľujete 1 na 2, čím získate 1/2, 1/4, 1/8 atď. Nakoniec sa teda priblížite k nule a odpoveď je „takmer nulová“. Body sú tak blízko pri sebe, že sú si „takmer rovnocenné“. To je povaha derivátov.
5. Naučte sa, ako určiť rôzne deriváty. Existuje veľa rôznych techník hľadania derivácie v závislosti od rovnice, ale väčšina z nich má zmysel, ak ste si vyššie spomenuli základy derivácií. Všetky derivácie sú spôsobom, ako nájsť sklon „nekonečne“ priamky. Teraz, keď viete viac o teórii derivátov, je veľa práce pri hľadaní odpovedí.
6. Nájdite odvodené rovnice a predpovedajte rýchlosť zmeny kedykoľvek. Je užitočné použiť deriváty na určenie rýchlosti zmeny v danom okamihu, ale krása analýzy spočíva v tom, že môžete vytvoriť nový model pre ľubovoľnú funkciu. Derivát ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ak je to pre vás ťažké pochopiť, skúste si spomenúť na skutočné príklady derivátov. Najjednoduchší príklad je založený na rýchlosti, ktorá obsahuje množstvo rôznych derivátov, s ktorými sa stretávame každý deň. Nezabudni: derivácia je mierka toho, ako rýchlo sa niečo mení. Pomysli na jednoduchý experiment. Vyvalíte mramor na stôl a zmeriate zakaždým, ako ďaleko sa pohybuje a ako rýchlo. Teraz si predstavte, že valcovaný mramor sleduje čiaru v grafe - na meranie okamžitých zmien kedykoľvek na tejto čiare používate deriváty.
   • Ako rýchlo sa mramor pohybuje? Akou rýchlosťou sa mení poloha (alebo derivát) pohybujúceho sa mramoru? Túto deriváciu nazývame „rýchlosť“.
   • Rolovať mramor pozdĺž svahu a sledovať, ako sa mení rýchlosť. Aká je rýchlosť zmeny alebo odvodenie rýchlosti mramoru? Tento derivát nazývame „zrýchlenie“.
   • Rolovať mramor pozdĺž zvlnenej dráhy, napríklad na horskej dráhe. Do akej miery mramor naberá na rýchlosti, keď sa skotúľa a do akej miery mramor spomalí do kopca? Ako rýchlo ide mramor presne, keď je v polovici prvého kopca? Toto je okamžitá rýchlosť zmeny alebo derivácie mramoru v jednom konkrétnom bode.

Časť 3 z 3: Pochopte integrály

1. Vedzte, že pomocou analýzy môžete nájsť zložité oblasti a objemy. Pomocou analýzy môžete merať zložité tvary, ktoré sa inak ťažko merajú. Zvážte napríklad problém, ktorý chcete vedieť, koľko vody obsahuje dlhé jazero nepravidelného tvaru - je nemožné zmerať každý liter vody osobitne alebo pomocou pravítka zmerať tvar jazera. Pomocou analýzy môžete študovať, ako sa menia okraje jazera, a potom pomocou týchto informácií zistiť, koľko vody obsahuje.
   • Tvorba geometrických modelov a štúdium objemov integrovať. Integrovaný počet je druhou dôležitou vetvou analýzy.
2. Vedzte, že integrácia je oblasť pod grafom. Integrácia sa používa na meranie priestoru pod čiarou, čo umožňuje určiť oblasť zvláštnych alebo nepravidelných tvarov. Vezmite rovnicu ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Vedzte, že musíte zvoliť oblasť, ktorú chcete integrovať. Nemôžete jednoducho integrovať celú funkciu. Napríklad ${ displaystyle y = x}$Popremýšľajte, ako vypočítať plochu obdĺžnika. Predpokladajme, že máte nad grafom rovnú čiaru, ako napr ${ displaystyle y = 4.}$Vedzte, že v integrálnom počte je veľa malých obdĺžnikov spojených dohromady, aby sa zistila oblasť oblasti. Keď krivku enormne zväčšíte, zdá sa, že ide o priamku. Vidíte to každý deň - nemôžete vnímať zakrivenie Zeme, pretože ste tak blízko zemského povrchu. Integrácia vytvorí pod krivkou nekonečné množstvo malých obdĺžnikov, ktoré sú také malé, že sú v podstate ploché, čo vám umožňuje ich spočítanie. Všetky tieto obdĺžniky spojené dohromady tvoria oblasť oblasti pod krivkou.
   • Predpokladajme, že pod grafom spočítate veľa malých segmentov, a to je šírka každého segmentu takmer je nula.
3. Vedieť, ako správne čítať a zapisovať integrály. Integrály pozostávajú zo 4 častí. Typický integrál vyzerá takto:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Získajte viac informácií o hľadaní integrálov. Integrácia má mnoho podôb a na integráciu každej funkcie sa musíte naučiť veľa rôznych vzorcov. Všetci však dodržiavajú zásady načrtnuté vyššie: integrácia je súhrn nekonečného množstva vecí.
   • Integrovať nahradením.
   • Vypočítajte neurčité integrály.
   • Integrujte zdieľaním.
4. Vedzte, že integrácia je obrátenou diferenciáciou a naopak. Toto je základné pravidlo analýzy, ktoré je také dôležité, že dostalo svoje vlastné meno: Hlavná veta integrálneho výpočtu.Pretože integrácia a diferenciácia spolu úzko súvisia, je možné pomocou kombinácie týchto dvoch metód určiť rýchlosť zmeny, zrýchlenie, rýchlosť, polohu, pohyb atď. Bez ohľadu na to, aké informácie máte.
   • Pamätajte napríklad, že deriváciou rýchlosti je zrýchlenie, takže na nájdenie zrýchlenia môžete použiť rýchlosť. Ale ak poznáte iba zrýchlenie niečoho (napríklad objektov padajúcich v dôsledku gravitácie), môžete sa integrovať a znova získať rýchlosť!
5. Vedzte, že vďaka integrácii môžete ovládať aj objem 3D objektov. Otočenie plochého tvaru je jedným zo spôsobov, ako vytvoriť 3D telesá. Predstavte si, že sa minca točí na stole - všimnite si, ako sa zdá, že minca pri otáčaní má tvar gule. Tento koncept umožňuje určiť objem podľa procesu známeho ako „objem rotáciou“.
   • Toto vám umožňuje určiť objem ľubovoľného telesa, ak máte funkciu, ktorá ho predstavuje. Môžete napríklad vytvoriť funkciu, ktorá sleduje dno jazera, a potom pomocou nej určiť objem jazera alebo množstvo vody, ktoré obsahuje.

Tipy

• Cvičenie je dokonalé, takže cvičte aj cvičebné úlohy z vašej učebnice - aj tie, ktoré váš učiteľ nedal - a skontrolujte svoje odpovede, aby ste lepšie porozumeli pojmom.
• Ak nenájdete riešenie, opýtajte sa svojho učiteľa.