Obsah

• Kroky

Trigonometrická rovnica obsahuje jednu alebo viac trigonometrických funkcií premennej „x“ (alebo akejkoľvek inej premennej). Riešením goniometrickej rovnice je nájsť takú hodnotu „x“, ktorá spĺňa funkciu (funkcie) a rovnicu ako celok.

• Riešenia trigonometrických rovníc sú vyjadrené v stupňoch alebo radiánoch. Príklady:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 stupňov; x = 37,12 stupňov; x = 178,37 stupňov.

• Poznámka: hodnoty goniometrických funkcií z uhlov vyjadrených v radiánoch a z uhlov vyjadrených v stupňoch sú rovnaké. Na opis goniometrických funkcií a na kontrolu správnosti riešenia základných trigonometrických rovníc a nerovností sa používa goniometrický kruh s polomerom rovným jednej.
• Príklady trigonometrických rovníc:
  • hriech x + hriech 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + hriech 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonometrický kruh s polomerom jedna (jednotková kružnica).
   • Je to kruh s polomerom rovným jednej a stredom v bode O. Jednotkový kruh popisuje 4 základné trigonometrické funkcie premennej „x“, kde „x“ je uhol meraný od kladného smeru osi X proti smeru hodinových ručičiek.
   • Ak „x“ predstavuje uhol v jednotkovej kružnici, potom:
   • Horizontálna os OAx definuje funkciu F (x) = cos x.
   • Vertikálna os OBy definuje funkciu F (x) = sin x.
   • Vertikálna os AT definuje funkciu F (x) = tan x.
   • Vodorovná os BU definuje funkciu F (x) = ctg x.

• Jednotkový kruh sa používa aj na riešenie základných trigonometrických rovníc a nerovností (uvažujú sa na ňom rôzne polohy „x“).

Kroky

1. 1 Pojem riešenia trigonometrických rovníc.
   • Ak chcete vyriešiť goniometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných trigonometrických rovníc. Riešenie goniometrickej rovnice v konečnom dôsledku prináša riešenie štyroch základných trigonometrických rovníc.
2. 2 Riešenie základných trigonometrických rovníc.
   • Existujú 4 typy základných trigonometrických rovníc:
   • hriech x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Riešenie základných trigonometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x v jednotkovej kružnici a použitie prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky).
   • Príklad 1. sin x = 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = π / 3. Jednotkový kruh dáva ďalšiu odpoveď: 2π / 3. Pamätajte si: všetky trigonometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Preto je odpoveď napísaná takto:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Príklad 2.cos x = -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) dostanete odpoveď: x = 2π / 3. Jednotkový kruh dáva ďalšiu odpoveď: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Príklad 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Odpoveď: x = π / 4 + πn.
   • Príklad 4. ctg 2x = 1,732.
   • Odpoveď: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformácie používané na riešenie goniometrických rovníc.
   • Na transformáciu trigonometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych výrazov atď.) A goniometrické identity.
   • Príklad 5. Pomocou trigonometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x = 0 transformuje na rovnicu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Preto musíte vyriešte nasledujúce základné trigonometrické rovnice: cos x = 0; hriech (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Nájdenie uhlov zo známych hodnôt funkcií.
   • Predtým, ako sa naučíte metódy riešenia trigonometrických rovníc, musíte sa naučiť nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To je možné vykonať pomocou konverznej tabuľky alebo kalkulačky.
   • Príklad: cos x = 0,732. Kalkulačka poskytne odpoveď x = 42,95 stupňa. Jednotkový kruh poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus je tiež 0,732.
5. 5 Odložte roztok nabok na jednotkový kruh.
   • Riešenie trigonometrickej rovnice na jednotkovej kružnici môžete odložiť. Riešením goniometrickej rovnice na jednotkovej kružnici sú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
   • Príklad: Riešenia x = π / 3 + πn / 2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
   • Príklad: Riešenia x = π / 4 + πn / 3 na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného šesťuholníka.
6. 6 Metódy riešenia goniometrických rovníc.
   • Ak daná spúšťacia rovnica obsahuje iba jednu spúšťaciu funkciu, vyriešte túto rovnicu ako základnú rovnicu spúšťača.Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac trigonometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
     • Metóda 1
   • Preveďte túto rovnicu na rovnicu tvaru: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kde f (x), g (x), h (x) sú základné trigonometrické rovnice.
     
     
   • Príklad 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Riešenie. Pomocou vzorca s dvojitým uhlom sin 2x = 2 * sin x * cos x nahraďte sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
   • Príklad 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu tvaru: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
   • Príklad 8.sin x - hriech 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu tvaru: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
     • Metóda 2.
   • Skonvertujte danú trigonometrickú rovnicu na rovnicu obsahujúcu iba jednu goniometrickú funkciu. Potom nahraďte túto goniometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, atď.).
   • Príklad 9,3 s ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4 sin x + 7 (0 x 2π).
   • Riešenie. V tejto rovnici nahraďte (cos ^ 2 x) s (1 - sin ^ 2 x) (podľa identity). Transformovaná rovnica je:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Nahraďte sin x t. Rovnica teraz vyzerá takto: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnica s dvoma koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah hodnôt funkcie (-1 sin x 1). Teraz rozhodnite: t = hriech x = -1; x = 3π / 2.
   • Príklad 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Riešenie. Nahraďte tg x t. Pôvodnú rovnicu prepíšte takto: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t = tg x.
7. 7 Špeciálne trigonometrické rovnice.
   • Existuje niekoľko špeciálnych trigonometrických rovníc, ktoré vyžadujú špecifické transformácie. Príklady:
   • a * hriech x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodicita trigonometrických funkcií.
   • Ako už bolo spomenuté, všetky goniometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa po určitom období opakujú. Príklady:
     • Perióda funkcie f (x) = sin x je 2π.
     • Perióda funkcie f (x) = tan x sa rovná π.
     • Perióda funkcie f (x) = sin 2x je π.
     • Perióda funkcie f (x) = cos (x / 2) je 4π.
   • Ak je v probléme uvedené obdobie, vypočítajte hodnotu „x“ v rámci tohto obdobia.
   • Poznámka: Riešenie goniometrických rovníc nie je ľahká úloha a často vedie k chybám. Svoje odpovede si preto starostlivo skontrolujte. Na to môžete použiť grafovú kalkulačku na vykreslenie danej rovnice R (x) = 0. V takýchto prípadoch budú riešenia prezentované ako desatinné zlomky (to znamená, že π sa nahradí 3,14).