Obsah

• Kroky
• Metóda 1 z 3: Ako vyriešiť kubickú rovnicu bez konštantného členu
• Metóda 2 z 3: Ako nájsť celé korene pomocou multiplikátorov
• Metóda 3 z 3: Ako vyriešiť rovnicu pomocou diskriminátora

V kubickej rovnici je najvyšší exponent 3, takáto rovnica má 3 korene (riešenia) a má tvar ${ Displaystyle sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Niektoré kubické rovnice nie je také ľahké vyriešiť, ale ak použijete správnu metódu (s dobrým teoretickým pozadím), môžete nájsť korene aj najzložitejšej kubickej rovnice - na tento účel použite vzorec na riešenie kvadratickej rovnice, nájdite celé korene, alebo vypočítajte diskriminačný.

Kroky

Metóda 1 z 3: Ako vyriešiť kubickú rovnicu bez konštantného členu

1. 1 Zistite, či je v kubickej rovnici voľný výraz d{ displaystyle d}. Kubická rovnica má tvar ${ Displaystyle sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Na to, aby sa rovnica považovala za kubickú, stačí, že uvedieme iba výraz ${ displaystyle x ^ {3}}$ (to znamená, že nemusia byť žiadni ďalší členovia).
   • Ak má rovnica voľný termín ${ displaystyle d}$, použite inú metódu.
   • Ak v rovnici ${ displaystyle a = 0}$, nie je kubický.
2. 2 Vyberte zo zátvoriek X{ displaystyle x}. Pretože v rovnici nie je žiadny voľný výraz, každý výraz v rovnici obsahuje premennú ${ displaystyle x}$... To znamená, že jeden ${ displaystyle x}$ môžu byť na zjednodušenie rovnice vylúčené zo zátvoriek. Rovnica bude teda zapísaná takto: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Napríklad vzhľadom na kubickú rovnicu ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Vytiahnuť ${ displaystyle x}$ zátvorky a dostať ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Faktor (súčin dvoch binomických čísel) kvadratickej rovnice (ak je to možné). Mnoho kvadratických rovníc tvaru ${ Displaystyle sekera ^ {2} + bx + c = 0}$ možno faktorizovať. Takáto rovnica dopadne, ak ju vyberieme ${ displaystyle x}$ mimo zátvoriek. V našom prípade:
   • Vyberte zo zátvoriek ${ displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Faktor kvadratickej rovnice: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Každý kôš prirovnajte k ${ displaystyle 0}$... Korene tejto rovnice sú ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Vyriešte kvadratickú rovnicu pomocou špeciálneho vzorca. Vykonajte to, ak nemožno kvadratickú rovnicu faktorizovať. Ak chcete nájsť dva korene rovnice, hodnoty koeficientov ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ náhrada vo vzorci ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} {2a}}}$.
   • V našom prípade nahraďte hodnoty koeficientov ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) do vzorca:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} {2a}}}$

     ${ Displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Prvý koreň:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Druhý koreň:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Ako riešenie kubickej rovnice použite nulové a kvadratické korene. Kvadratické rovnice majú dva korene, zatiaľ čo kubické majú tri korene. Už ste našli dve riešenia - to sú korene kvadratickej rovnice. Ak by ste uviedli „x“ mimo zátvoriek, tretie riešenie by bolo ${ displaystyle 0}$.
   • Ak vytiahnete „x“ zo zátvoriek, získate ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$to znamená dva faktory: ${ displaystyle x}$ a kvadratickej rovnice v zátvorkách. Ak je niektorý z týchto faktorov ${ displaystyle 0}$, celá rovnica sa tiež rovná ${ displaystyle 0}$.
   • Dva korene kvadratickej rovnice sú teda riešeniami kubickej rovnice. Tretie riešenie je ${ displaystyle x = 0}$.

Metóda 2 z 3: Ako nájsť celé korene pomocou multiplikátorov

1. 1 Uistite sa, že v kubickej rovnici je voľný výraz d{ displaystyle d}. Ak v rovnici tvaru ${ Displaystyle sekera ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ je voľný člen ${ displaystyle d}$ (ktorá sa nerovná nule), nebude fungovať, ak vložíte „x“ mimo hranatých zátvoriek. V takom prípade použite metódu uvedenú v tejto časti.
   • Napríklad vzhľadom na kubickú rovnicu ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Ak chcete získať nulu na pravej strane rovnice, pridajte ${ displaystyle 6}$ na obe strany rovnice.
   • Rovnica dopadne ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... As ${ displaystyle d = 6}$, nemožno použiť metódu popísanú v prvej časti.
2. 2 Napíšte koeficienty koeficientu a{ displaystyle a} a voľný člen d{ displaystyle d}. To znamená, že nájdite faktory čísla na ${ displaystyle x ^ {3}}$ a čísla pred znamienkom rovnosti. Pripomeňme, že faktormi čísla sú čísla, ktoré po vynásobení vyprodukujú dané číslo.
   • Napríklad na získanie čísla 6, musíte sa rozmnožiť ${ displaystyle 6 times 1}$ a ${ Displaystyle 2 krát 3}$... Takže čísla 1, 2, 3, 6 sú faktory čísla 6.
   • V našej rovnici ${ displaystyle a = 2}$ a ${ displaystyle d = 6}$... Multiplikátory 2 sú 1 a 2... Multiplikátory 6 sú čísla 1, 2, 3 a 6.
3. 3 Rozdeľte každý faktor a{ displaystyle a} pre každý faktor d{ displaystyle d}. V dôsledku toho získate veľa zlomkov a niekoľko celých čísel; korene kubickej rovnice budú jedno z celých čísel alebo záporná hodnota jedného z celých čísel.
   • V našom prípade rozdeľte faktory ${ displaystyle a}$ (1 a 2) podľa faktorov ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 a 6). Získate: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ a ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Teraz do tohto zoznamu pridajte záporné hodnoty získaných zlomkov a čísel: ${ displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ a ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Celé korene kubickej rovnice sú niektoré čísla z tohto zoznamu.
4. 4 Vložte celé čísla do kubickej rovnice. Ak je rovnosť pravdivá, substitučné číslo je koreňom rovnice. Napríklad dosadiť v rovnici ${ displaystyle 1}$:
   • ${ Displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, to znamená, že sa nedodržiava rovnosť. V takom prípade zadajte ďalšie číslo.
   • Náhradník ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Teda, ${ Displaystyle -1}$ je celý koreň rovnice.
5. 5 Použite metódu delenia polynómov pomocou Hornerova schémaaby ste rýchlejšie našli korene rovnice. Vykonajte to, ak nechcete do rovnice ručne dosadzovať čísla. V Hornerovej schéme sú celé čísla delené hodnotami koeficientov rovnice ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ a ${ displaystyle d}$... Ak sú čísla rovnomerne deliteľné (tj. Zvyšok je.) ${ displaystyle 0}$), celé číslo je koreňom rovnice.
   • Hornerova schéma si zaslúži samostatný článok, ale nasledujúci je príklad výpočtu jedného z koreňov našej kubickej rovnice pomocou tejto schémy:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Takže zvyšok je ${ displaystyle 0}$, ale ${ Displaystyle -1}$ je jedným z koreňov rovnice.

Metóda 3 z 3: Ako vyriešiť rovnicu pomocou diskriminátora

1. 1 Zapíšte si hodnoty koeficientov rovnice a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} a d{ displaystyle d}. Odporúčame, aby ste si hodnoty uvedených koeficientov vopred zapísali, aby ste sa v budúcnosti nenechali zmiasť.
   • Napríklad vzhľadom na rovnicu ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Zapíšte si ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ a ${ Displaystyle d = -1}$... Pripomeňme, že ak predtým ${ displaystyle x}$ neexistuje žiadne číslo, zodpovedajúci koeficient stále existuje a je rovný ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Vypočítajte nulový rozlišovací prostriedok pomocou špeciálneho vzorca. Ak chcete vyriešiť kubickú rovnicu pomocou diskriminátora, musíte vykonať niekoľko náročných výpočtov, ale ak vykonáte všetky kroky správne, táto metóda sa stane nepostrádateľnou pre riešenie najzložitejších kubických rovníc. Prvý výpočet ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (nulový diskriminátor) je prvá hodnota, ktorú potrebujeme; Za týmto účelom nahraďte zodpovedajúce hodnoty vo vzorci ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminant je číslo, ktoré charakterizuje korene polynómu (napríklad diskriminant kvadratickej rovnice sa vypočíta podľa vzorca ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • V našej rovnici:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Vypočítajte prvú diskrimináciu pomocou vzorca Δ1=2b3−9abc+27a2d{ Displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Prvý diskriminačný ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - to je druhá dôležitá hodnota; na jeho výpočet zapojte zodpovedajúce hodnoty do zadaného vzorca.
   • V našej rovnici:

     ${ Displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ Displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Vypočítajte:${ Displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... To znamená, že pomocou získaných hodnôt nájdete diskriminátor kubickej rovnice ${ displaystyle Delta _ {0}}$ a ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Ak je diskriminant kubickej rovnice kladný, má rovnica tri korene; ak je diskriminant nulový, rovnica má jeden alebo dva korene; ak je diskriminant negatívny, rovnica má jeden koreň.
   • Kubická rovnica má vždy aspoň jeden koreň, pretože graf tejto rovnice pretína os X najmenej v jednom bode.
   • V našej rovnici ${ displaystyle Delta _ {0}}$ a ${ displaystyle Delta _ {1}}$ sú si rovní ${ displaystyle 0}$, takže môžete ľahko počítať ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ Displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Naša rovnica má teda jeden alebo dva korene.

5. 5 Vypočítajte:${ Displaystyle C = ^ {3} { sqrt { vľavo ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } right) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - toto je posledné dôležité množstvo, ktoré sa má nájsť; pomôže vám vypočítať korene rovnice. Nahraďte hodnoty do zadaného vzorca ${ displaystyle Delta _ {1}}$ a ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • V našej rovnici:

     ${ Displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Nájdite tri korene rovnice. Vykonajte to pomocou vzorca ${ Displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, kde ${ Displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ale n rovná sa 1, 2 alebo 3... Do tohto vzorca nahraďte príslušné hodnoty - v dôsledku toho získate tri korene rovnice.
   • Vypočítajte hodnotu pomocou vzorca na n = 1, 2 alebo 3a potom skontrolujte odpoveď. Ak pri kontrole odpovede dostanete 0, táto hodnota je koreňom rovnice.
   • V našom prípade náhrada 1 v ${ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ a dostať 0, t.j. 1 je jedným z koreňov rovnice.