Obsah

• Predbežné informácie
• Kroky
• Časť 1 z 3: Základy
• Časť 2 z 3: Vlastnosti Laplaceovej transformácie
• Časť 3 z 3: Hľadanie Laplaceovej transformácie pomocou rozšírenia o sériu

Laplaceova transformácia je integrálna transformácia, ktorá sa používa na riešenie diferenciálnych rovníc s konštantnými koeficientmi. Táto transformácia je široko používaná vo fyzike a inžinierstve.

Aj keď môžete použiť príslušné tabuľky, je užitočné porozumieť Laplaceovej transformácii, aby ste ju v prípade potreby mohli urobiť sami.

Predbežné informácie

• Vzhľadom na funkciu ${ displaystyle f (t)}$definované pre ${ Displaystyle t geq 0.}$ Potom Laplaceova transformácia funkciu ${ displaystyle f (t)}$ je ďalšou funkciou každej hodnoty ${ displaystyle s}$, v ktorom integrál konverguje:
  • ${ Displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplaceova transformácia má funkciu z oblasti t (časová škála) do oblasti s (oblasť transformácie), kde ${ displaystyle F (s)}$ je komplexná funkcia komplexnej premennej. Umožňuje vám presunúť funkciu do oblasti, kde je jednoduchšie nájsť riešenie.
• Laplaceova transformácia je zrejme lineárny operátor, takže ak máme do činenia so súčtom výrazov, každý integrál je možné vypočítať oddelene.
  • ${ Displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Nezabudnite, že Laplaceova transformácia funguje, iba ak integrál konverguje. Ak funkcia ${ displaystyle f (t)}$ má diskontinuity, je potrebné byť opatrný a správne nastaviť limity integrácie, aby sme predišli neistote.

Kroky

Časť 1 z 3: Základy

1. 1 Nahraďte funkciu do Laplaceovho transformačného vzorca. Laplaceovu transformáciu funkcie je teoreticky veľmi ľahké vypočítať. Uvažujme napríklad o funkcii ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, kde ${ displaystyle a}$ je komplexná konštanta s ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Odhadnite integrál pomocou dostupných metód. V našom prípade je odhad veľmi jednoduchý a vystačíte si s jednoduchými výpočtami. V zložitejších prípadoch môžu byť potrebné komplexnejšie metódy, napríklad integrácia po častiach alebo rozlíšenie pod integrálnym znakom. Podmienka obmedzenia ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ znamená, že integrál konverguje, to znamená, že jeho hodnota má tendenciu k 0 ako ${ Displaystyle t do infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {zarovnaný}}}$
   • Všimnite si toho, že to nám dáva dva typy Laplaceovej transformácie, so sínusom a kosínom, pretože podľa Eulerovho vzorca ${ displaystyle e ^ {iat}}$... V tomto prípade dostaneme v menovateli ${ Displaystyle s-ia,}$ a zostáva len určiť skutočné a imaginárne časti. Výsledok môžete vyhodnotiť aj priamo, ale to by trvalo trochu dlhšie.
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Uvažujme o Laplaceovej transformácii výkonovej funkcie. Najprv musíte definovať transformáciu mocninovej funkcie, pretože vlastnosť linearity vám umožňuje nájsť transformáciu pre zo všetkých polynómy. Funkcia formulára ${ displaystyle t ^ {n},}$ kde ${ displaystyle n}$ - akékoľvek kladné celé číslo. Môžu byť integrované kus po kuse, aby sa definovalo rekurzívne pravidlo.
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Tento výsledok je vyjadrený implicitne, ale ak nahradíte niekoľkými hodnotami ${ displaystyle n,}$ môžete vytvoriť určitý vzorec (skúste to urobiť sami), ktorý vám umožní získať nasledujúci výsledok:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Laplaceovu transformáciu zlomkových mocnin môžete definovať aj pomocou funkcie gama. Týmto spôsobom môžete napríklad nájsť transformáciu funkcie, ako je napr ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Aj keď funkcie so zlomkovými mocninami musia mať škrty (pamätajte na to, že všetky komplexné čísla sú) ${ displaystyle z}$ a ${ displaystyle alpha}$ možno zapísať ako ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, pretože ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), môžu byť vždy definované tak, že rezy ležia v ľavej polrovine, a tým sa vyhnú problémom s analytickosťou.

Časť 2 z 3: Vlastnosti Laplaceovej transformácie

1. 1 Nájdeme Laplaceovu transformáciu funkcie vynásobenú eat{ displaystyle e ^ {at}}. Výsledky získané v predchádzajúcej časti nám umožnili zistiť niektoré zaujímavé vlastnosti Laplaceovej transformácie. Laplaceova transformácia funkcií, ako sú kosínusová, sínusová a exponenciálna funkcia, sa zdá byť jednoduchšia ako transformácia výkonovej funkcie. Násobenie podľa ${ displaystyle e ^ {at}}$ v t-oblasti zodpovedá smena v oblasti S:
   • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Táto vlastnosť vám okamžite umožní nájsť transformáciu funkcií ako napr ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$bez toho, aby ste museli vypočítať integrál:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Nájdeme Laplaceovu transformáciu funkcie vynásobenú tn{ displaystyle t ^ {n}}. Najprv zvážte násobenie pomocou ${ displaystyle t}$... Podľa definície je možné rozlíšiť funkciu pod integrálom a získať prekvapivo jednoduchý výsledok:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {zarovnaný}}}$
   • Opakovaním tejto operácie získame konečný výsledok:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Napriek tomu, že preskupenie operátorov integrácie a diferenciácie vyžaduje určité dodatočné odôvodnenie, nebudeme ho tu uvádzať, ale iba upozorňujeme, že táto operácia je správna, ak konečný výsledok dáva zmysel. Môžete tiež vziať do úvahy skutočnosť, že premenné ${ displaystyle s}$ a ${ displaystyle t}$ nie sú na sebe závislí.
   • Pomocou tohto pravidla je ľahké nájsť transformáciu funkcií ako napr ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, bez reintegrácie po častiach:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Nájdite Laplaceovu transformáciu funkcie f(at){ displaystyle f (at)}. To sa dá ľahko vykonať nahradením premennej hodnotou u pomocou definície transformácie:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F vľavo ({ frac {s} {a}} vpravo) end {zarovnaný}}}$
   • Hore sme našli Laplaceovu transformáciu funkcií ${ displaystyle sin at}$ a ${ displaystyle cos o}$ priamo z exponenciálnej funkcie. Použitím tejto vlastnosti môžete dosiahnuť rovnaký výsledok, ak nájdete skutočné a imaginárne časti ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Nájdite Laplaceovu transformáciu derivátu f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Na rozdiel od predchádzajúcich príkladov, v tomto prípade musím integrovať kus po kúsku:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {zarovnaný}}}$
   • Pretože sa druhá derivácia vyskytuje pri mnohých fyzických problémoch, nájdeme pre ňu aj Laplaceovu transformáciu:
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Vo všeobecnom prípade je Laplaceova transformácia derivátu n -tého rádu definovaná nasledovne (to umožňuje riešenie diferenciálnych rovníc pomocou Laplaceovej transformácie):
     • ${ Displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Časť 3 z 3: Hľadanie Laplaceovej transformácie pomocou rozšírenia o sériu

1. 1 Nájdeme Laplaceovu transformáciu pre periodickú funkciu. Periodická funkcia spĺňa podmienku ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kde ${ displaystyle T}$ je obdobie funkcie a ${ displaystyle n}$ je kladné celé číslo. Periodické funkcie sú široko používané v mnohých aplikáciách, vrátane spracovania signálu a elektrotechniky. Pomocou jednoduchých transformácií získame nasledujúci výsledok:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { zarovnané}}}$
   • Ako vidíte, v prípade periodickej funkcie stačí vykonať Laplaceovu transformáciu na jedno obdobie.
2. 2 Vykonajte Laplaceovu transformáciu pre prirodzený logaritmus. V tomto prípade nemôže byť integrál vyjadrený vo forme elementárnych funkcií. Použitie funkcie gama a jej sériového rozšírenia vám umožňuje odhadnúť prirodzený logaritmus a jeho stupne. Prítomnosť konštanty Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ ukazuje, že na odhad tohto integrálu je potrebné použiť sériové rozšírenie.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Uvažujme o Laplaceovej transformácii nenormalizovanej úprimnej funkcie. Funkcia ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ široko používaný na spracovanie signálu, v diferenciálnych rovniciach je ekvivalentný sférickej Besselovej funkcii prvého druhu a nulového rádu ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Laplaceovu transformáciu tejto funkcie tiež nemožno vypočítať štandardnými metódami. V tomto prípade sa vykonáva transformácia jednotlivých členov radu, ktoré sú výkonovými funkciami, takže ich transformácie sa nevyhnutne zbiehajú v danom intervale.
   • Najprv napíšeme rozšírenie funkcie v Taylorovej sérii:
     • ${ Displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)}}}}$
   • Teraz použijeme už známu Laplaceovu transformáciu výkonovej funkcie. Faktoriály sú zrušené a v dôsledku toho dostaneme Taylorovu expanziu pre arktangens, tj. Striedavú sériu, ktorá sa podobá Taylorovej sérii pre sínus, ale bez faktoriálov:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$