Obsah

• Kroky
• Rada

Rýchlosť je definovaná ako rýchlosť objektu v danom smere. V mnohých prípadoch na nájdenie rýchlosti použijeme rovnicu v = s / t, kde v je rýchlosť, s je celková vzdialenosť posunu objektu od pôvodnej polohy at je čas potrebný na cestu objektu. ísť celú cestu. Teoreticky je však tento vzorec iba pre rýchlosť stredná vecí na ceste. Výpočtom rýchlosti objektu v ľubovoľnom bode vzdialenosti. To je Čas prepravy a je definované rovnicou v = (ds) / (dt), alebo inak povedané, derivácia rovnice pre priemernú rýchlosť.

Kroky

Časť 1 z 3: Vypočítajte okamžitú rýchlosť

1. 

   
   
   Začnite rovnicou na výpočet rýchlosti podľa vzdialenosti posunutia. Aby sme našli okamžitú rýchlosť, musíme najskôr mať rovnicu, ktorá označuje polohu objektu (z hľadiska posunu) v ktoromkoľvek danom čase. To znamená, že rovnica musí mať iba jednu premennú S na jednej strane a otočiť t na druhej strane (nemusí to byť len jedna premenná), napríklad takto:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • V tejto rovnici sú to premenné:

     s = posunutie. Vzdialenosť, ktorú objekt presunul z pôvodnej polohy. Napríklad, ak môže objekt prejsť 10 metrov dopredu a 7 metrov dozadu, jeho celková cestovná vzdialenosť je 10 - 7 = 3 metre (nie 10 + 7 = 17 m).

     t = čas. Táto premenná je jednoduchá bez vysvetlenia, zvyčajne sa meria v sekundách.

2. 

   
   
   Vezmite deriváciu rovnice. Deriváciou rovnice je ďalšia rovnica, ktorá zobrazuje sklon vzdialenosti v konkrétnom čase. Ak chcete nájsť deriváciu rovnice podľa vzdialenosti posunutia, vypočítajte deriváciu funkcie podľa nasledujúceho všeobecného pravidla: Ak y = a * x, derivácia = a * n * x. To platí pre všetky výrazy na strane „t“ rovnice.
   • Inými slovami, začnite dostávať diferenciál zľava doprava na strane „t“ rovnice. Kedykoľvek narazíte na premennú „t“, odčítate exponent od 1 a vynásobíte člen pôvodným exponentom. Všetky konštantné výrazy (výrazy bez „t“) zmiznú, pretože sa vynásobia 0. Proces nie je v skutočnosti taký ťažký, ako by ste si mysleli - vezmime si ako príklad rovnicu v predchádzajúcom kroku:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5 t + (1) 10 t + (0) 4 t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Nahraďte „s“ výrazom „ds / dt“. Aby sme ukázali, že nová rovnica je derivátom pôvodného štvorca, nahradíme „s“ symbolom „ds / dt“. Teoreticky je tento zápis „deriváciou s v zmysle t“. Jednoduchší spôsob, ako pochopiť tento zápis, ds / dt je sklon ktoréhokoľvek bodu v počiatočnej rovnici. Napríklad, aby sme našli sklon vzdialenosti opísanej rovnicou s = -1,5t + 10t + 4 v čase t = 5, dosadíme za t v derivácii rovnice „5“.
   • Vo vyššie uvedenom príklade vyzerá derivácia rovnice takto:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Nahraďte hodnotu t do novej rovnice, aby ste našli okamžitú rýchlosť. Teraz, keď máme derivačnú rovnicu, je nájdenie okamžitej rýchlosti v danom okamihu veľmi ľahké. Musíte len zvoliť hodnotu t a nahradiť ju derivačnou rovnicou. Napríklad, ak chceme nájsť okamžitú rýchlosť pri t = 5, stačí nahradiť „5“ za t v derivačnej rovnici ds / dt = -3t + 10. Rovnicu vyriešime takto:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 metrov za sekundu

   • Upozorňujeme, že vyššie používame jednotku „metrov za sekundu“.Pretože riešime problém s posunom v metroch a časom v sekundách a rýchlosť je posunom v čase, je táto jednotka vhodná.
   reklama

Časť 2 z 3: Grafický odhad okamžitej rýchlosti

1. 

   Vytvorte graf pohybovej vzdialenosti objektu v priebehu času. V predchádzajúcej časti sme si povedali, že deriváciou je tiež vzorec, ktorý nám umožňuje nájsť sklon v ktoromkoľvek bode rovnice prevzatej z derivácie. Ak v skutočnosti zobrazíte pohyblivú vzdialenosť objektu na grafe, Sklon grafu v ktoromkoľvek bode predstavuje okamžitú rýchlosť objektu v danom bode.
   • Na vytvorenie grafu vzdialeností pohybu použite os x pre čas a os y pre posun. Potom určíte počet bodov zapojením hodnôt t do pohybovej rovnice, výsledkom sú hodnoty s a body t, s (x, y) v grafe bodkujete.
   • Upozorňujeme, že graf sa môže rozširovať pod os x. Ak čiara znázorňujúca pohyb objektu vedie nadol v osi x, znamená to, že objekt sa posúva dozadu z pôvodnej polohy. Všeobecne platí, že graf sa nebude rozprestierať za osou y - zvyčajne nemeráme rýchlosť objektov pohybujúcich sa späť v čase!

2. 

   Vyberte v grafe bod P a bod Q v blízkosti bodu P. Na zistenie sklonu grafu v bode P použijeme techniku ​​„nájdenia limitu“. Nájsť limit znamená vziať dva body (P a Q (bod blízko P)) na krivku a nájsť sklon priamky spájajúcej tieto dva body, opakovať tento proces, pretože vzdialenosť medzi P a Q sa skracuje. postupne.
   • Predpokladajme, že vzdialenosť posunutia má body (1; 3) a (4; 7). V takom prípade, ak chceme nájsť sklon na (1; 3), môžeme nastaviť (1; 3) = P a (4; 7) = Q.

3. 

   Nájdite sklon medzi P a Q. Sklon medzi P a Q je rozdiel hodnôt y pre P a Q oproti rozdielu hodnôt x pre P a Q. Inými slovami, H = (r_Q - r_P) / (X_Q - X_P), kde H je sklon medzi dvoma bodmi. V tomto príklade je sklon medzi P a Q:
   

   H = (r_Q - r_P) / (X_Q - X_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Opakujte niekoľkokrát posunutím Q bližšie k P. Cieľom je zmenšiť vzdialenosť medzi P a Q, kým nedosiahnu jediný bod. Čím menšia je vzdialenosť medzi P a Q, tým bližšie bude sklon nekonečne malého segmentu k sklonu v bode P. Zopakujte to niekoľkokrát pre našu príkladnú rovnicu pomocou bodov (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) a (1,25; 3,49) poskytujú Q a počiatočné súradnice P sú (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Odhadne sklon extrémne malého segmentu na krivke grafu. Keď sa Q bude čoraz viac blížiť k P, H sa bude postupne približovať k svahu pri P. Nakoniec, na veľmi malej čiare, H bude sklon k P. Pretože nemôžeme merať ani počítať Dĺžka čiary je extrémne malá, takže sklon pri P odhadnite iba vtedy, keď je jasne viditeľný z bodov, ktoré vypočítame.
   • Vo vyššie uvedenom príklade, keď posúvame H bližšie k P, máme hodnoty pre H 1,8; 1,9 a 1,96. Pretože sa tieto čísla blížia k 2, môžeme povedať 2 je približná hodnota sklonu pri P.
   • Pamätajte, že sklon v ktoromkoľvek bode grafu je derivátom grafickej rovnice v danom bode. Pretože graf zobrazuje posunutie objektu v čase, ako sme videli v predchádzajúcej časti, jeho okamžitá rýchlosť v ktoromkoľvek bode je derivátom vzdialenosti posunutia objektu v problémovom bode. Prístup, môžeme povedať 2 metre / s je približný odhad okamžitej rýchlosti, keď t = 1.
   reklama

Časť 3 z 3: Vzorový problém

1. 

   Nájdite okamžitú rýchlosť, keď t = 1 s rovnicou posunu s = 5t - 3t + 2t + 9. Rovnako ako príklad v prvej časti, ale toto je kubický namiesto kvadratický, takže problém môžeme vyriešiť rovnakým spôsobom.
   • Najprv vezmeme deriváciu rovnice:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Potom nahradíme hodnotu t (4) v:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 metrov za sekundu

2. 

   Použite metódu odhadu grafu na nájdenie okamžitej rýchlosti pri (1; 3) pre rovnicu posunutia s = 4t - t. Pre tento problém použijeme súradnice (1; 3) ako bod P, ale musíme nájsť ďalšie Q body umiestnené v jeho blízkosti. Potom už len musíme nájsť hodnoty H a odvodiť odhadovanú hodnotu.
   • Najskôr nájdeme Q body, keď t = 2; 1,5; 1.1 a 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, teda Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, so Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1 0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, takže to je všetko Q = (1,01; 3,0704)

   • Ďalej dostaneme H hodnoty:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Pretože hodnoty H sa zdajú byť bližšie k 7, môžeme to povedať 7 metrov za sekundu je približný odhad okamžitej rýchlosti na súradnici (1; 3).
   reklama

Rada

• Na nájdenie zrýchlenia (zmeny rýchlosti v čase) použite metódu v prvej časti na získanie derivácie rovnice posunu. Potom vezmite deriváciu znova pre derivačnú rovnicu, ktorú ste práve našli. Výsledkom je, že v danom časovom okamihu máte rovnicu pre zrýchlenie - stačí, ak zapojíte čas.
• Rovnica ukazujúca vzťah medzi Y (vzdialenosť posunu) a X (čas) môže byť veľmi jednoduchá, pretože Y = 6x + 3. V takom prípade je sklon konštantný a nie je potrebné brať do úvahy derivácia na výpočet sklonu, to znamená, že sa riadi základným tvarom rovnice Y = mx + b pre lineárny graf, tj sklon sa rovná 6.
• Vzdialenosť posunutia je ako vzdialenosť, ale má smer, takže ide o vektorovú veličinu a rýchlosť o skalárnu veličinu. Cestovné vzdialenosti môžu byť negatívne, zatiaľ čo vzdialenosti môžu byť iba pozitívne.