Obsah

• Na krok
• Metóda 1 z 3: Porozumenie problému
• Metóda 2 z 3: Štruktúrovanie dôkazu
• Metóda 3 z 3: Formulácia dôkazu
• Tipy

Matematické dôkazy môžu byť zložité, ale so správnymi znalosťami matematiky a štruktúrou dôkazov ich môžete správne formulovať. Bohužiaľ neexistuje rýchly a ľahký spôsob, ako sa naučiť, ako získavať dôkazy. Aby ste mohli prichádzať so správnymi tézami a definíciami pre logické rozvíjanie svojich dôkazov, potrebujete pevné základy svojich vedomostí. Čítaním príkladov a precvičovaním si budete schopní osvojiť si schopnosti matematickej korektúry.

Na krok

Metóda 1 z 3: Porozumenie problému

1. Pochopte otázku. Najprv musíte presne určiť, o čo sa snažíte dokázať. Táto otázka bude slúžiť aj ako záverečná práca o dôkazoch. V tomto kroku definujete aj predpoklady, s ktorými budete pracovať. Identifikácia otázky a vytvorenie potrebných predpokladov vám poskytne východiskový bod pre pochopenie problému a získanie dôkazov.
2. Nakreslite diagramy. Pri pokuse o pochopenie vnútorného fungovania matematického problému je niekedy najjednoduchšie nakresliť diagram toho, čo sa deje. Grafy sú obzvlášť dôležité v geometrických dôkazoch, pretože vám umožňujú vizualizovať, čo vlastne chcete dokázať.
   • Na základe informácií uvedených v probléme urobte obraz dôkazov. Pomenujte známych a neznámych ľudí.
   • Pri vypracovávaní dôkazov použite potrebné informácie na podporu dôkazov.
3. Študujte dôkazy o súvisiacich vetách. Dôkazy je ťažké sa naučiť zostrojiť, ale vynikajúcim spôsobom, ako sa to naučiť, je študovať súvisiace tvrdenia a to, ako boli dokázané.
   • Uvedomte si, že dôkaz je len dobrý argument, v ktorom je každý krok podložený. Môžete nájsť veľa dôkazov na štúdium, online aj v učebnici.
4. Klásť otázky. Je veľmi normálne, že uviaznete v dôkaze. Spýtajte sa svojho učiteľa alebo spolužiakov, ak na to nemôžete prísť. Posledne menované môžu mať podobné otázky a na otázkach môžete spolupracovať. Je lepšie klásť otázky a potom pochopiť, ako sa slepo brodiť dôkazmi.
   • Po vyučovaní sa poraďte so svojím učiteľom, aby vám poskytol ďalšie vysvetlenie.

Metóda 2 z 3: Štruktúrovanie dôkazu

1. Definujte matematické dôkazy. Matematický dôkaz je súbor logických výrokov podporovaných vetami a definíciami, ktoré dokazujú správnosť iného matematického výroku. Dôkazy sú jediným spôsobom, ako zistiť, či je tvrdenie matematicky platné.
   • Schopnosť formulovať matematický dôkaz naznačuje základné pochopenie problému samotného a všetkých pojmov, ktoré sú súčasťou problému.
   • Dôkazy vás tiež nútia pozerať na matematiku novým a vzrušujúcim spôsobom. Ak sa pokúsite niečo dokázať, získate o tom viac vedomostí a pochopenia, aj keď sa vaše dôkazy nakoniec nezdajú byť v poriadku.
2. Poznajte svoje publikum. Pred napísaním dôkazu musíte myslieť na publikum, pre ktoré ho píšete, a na to, čo už vie. Ak napíšete dôkaz do publikácie, urobíte to inak ako v triede pre stredné školy.
   • Poznanie vášho publika vám umožňuje formulovať dôkazy tak, aby mu rozumeli vzhľadom na množstvo základných vedomostí, ktoré má publikum.
3. Pochopte, aký typ dôkazu predkladáte. Existuje niekoľko rôznych typov dôkazov a ten, ktorý si vyberiete, závisí od vašej cieľovej skupiny a zadania. Ak si nie ste istí, ktorú verziu použiť, požiadajte o radu svojho učiteľa. Na strednej škole sa od vás môže očakávať, že dôkazy sformulujete do konkrétneho formátu, napríklad do formálneho dôkazu v dvoch stĺpcoch.
   • Dôkaz s dvoma stĺpcami je štruktúra, v ktorej sú údaje a tvrdenia umiestnené v jednom stĺpci a podporné dôkazy vedľa neho v druhom stĺpci. Veľmi často sa používajú v geometrii.
   • Neformálny test odstavcov používa gramaticky správne výroky a menej symbolov. Na vyššej úrovni by ste mali vždy použiť neformálny dôkaz.
4. Dôkaz napíšte do dvoch stĺpcov ako prehľad. Štruktúra dôkazu v dvoch stĺpcoch je ľahký spôsob, ako usporiadať svoje myšlienky a zvážiť problém. Nakreslite čiaru dole do stredu stránky a naľavo zapíšte všetky údaje a vyhlásenia. Napíš zodpovedajúce definície / výroky vpravo vedľa údajov, ktoré podporujú.
   • Napríklad:
   • Uhol A a uhol B tvoria lineárny pár. Dané.
   • Roh ABC je rovný. Definícia pravého uhla.
   • Uhol ABC je 180 °. Definícia riadku.
   • Uhol A + uhol B = uhol ABC. Postulát pre pridanie uhlov.
   • Uhol A + uhol B = 180 °. Striedanie.
   • Uhol A ako doplnok k uhlu B. Definícia ďalších uhlov.
   • Q.E.D.
5. Konvertujte dôkaz v dvoch stĺpcoch na neformálny dôkaz. Na základe dôkazu v dvoch stĺpcoch napíšte neformálny dôkaz ako odsek bez príliš veľkého množstva symbolov a skratiek.
   • Napríklad, povedzme, že uhol A a B sú lineárne páry. Hypotéza je taká, že uhol A a uhol B sa navzájom dopĺňajú (sú doplnkové). Uhol A a uhol B tvoria priamku, pretože ide o lineárne páry. Priamka je definovaná ako uhol 180 °. Vzhľadom na postulát na sčítanie uhlov tvoria uhly A a B priamku ABC. Ako substitúcia sú A a B spolu 180 °, sú to teda doplnkové uhly. Q.E.D.

Metóda 3 z 3: Formulácia dôkazu

1. Osvojte si slovník matematického dôkazu. Existujú určité výroky a vety, ktoré neustále vidíš v matematickom dôkaze. Toto sú frázy, ktoré by ste mali poznať a vedieť ich dobre používať pri formulovaní vlastných dôkazov.
   • „Ak A, potom B“ znamená, že musíte preukázať, že ak je A pravdivé, musí platiť aj B.
   • „A len a len vtedy, ak B“ znamená, že musíte dokázať, že A a B sú pravdivé a nepravdivé súčasne. Dokážte „Ak A, tak B“, aj „Ak nie A, tak nie B“.
   • „A, iba ak B“ znamená to isté ako „Ak A, potom B“, takže sa často nepoužíva. Je dobré si to uvedomiť, keď na to narazíte.
   • Pri dokazovaní by ste sa mali vyhnúť použitiu výrazu „ja“ v prospech výrazu „my“.
2. Zapíšte si všetky údaje. Pri zostavovaní dôkazu je prvým krokom identifikácia a zaznamenanie všetkých údajov. Toto je najlepšie miesto pre začiatok, pretože vám pomôže premýšľať o tom, čo je známe, a aké informácie potrebujete na doplnenie dôkazov. Prečítajte si problém a zapíšte si každú informáciu.
   • Napríklad: Dokážte, že dva uhly tvoriace lineárny pár (uhol A a uhol B) sú doplňujúce.
   • Dané: uhol A a uhol B tvoria lineárny pár
   • Dôkaz: uhol A je doplnkom k uhlu B.
3. Definujte všetky premenné. Okrem zapisovania údajov je užitočné definovať všetky premenné. Definície napíšte na začiatok dôkazu, aby nedošlo k zámene čitateľa. Ak premenné nie sú definované, čitateľ sa môže ľahko stratiť a pokúsiť sa porozumieť vašim dôkazom.
   • Vo svojom dôkaze nepoužívajte premenné, ktoré ešte neboli definované.
   • Napríklad: Premenné sú miery uhla A a uhla B.
4. Postupujte naspäť prostredníctvom dôkazov. Často je najľahšie myslieť spätne na problém. Začnite záverom, čo sa snažíte dokázať, a zamyslite sa nad krokmi, ktoré vás môžu viesť späť na začiatok.
   • Upravte kroky na začiatku a na konci, aby ste zistili, či sú podobné. Použite údaje, definované definície a podobné dôkazy.
   • Cestou si dávajte otázky. „Prečo je to tak?“ A „Existuje nejaký spôsob, ako je to nepravdivé?“ Sú dobré otázky pre akékoľvek tvrdenie alebo tvrdenie.
   • Nezabudnite postupne napísať kroky, ktoré vám poskytnú konečný dôkaz.
   • Napríklad: Ak sú uhly A a B doplňujúce, potom musia byť spolu o 180 °. Dva rohy spolu tvoria čiaru ABC. Viete, že tvoria čiaru z dôvodu definície lineárnych párov. Pretože rovná čiara je 180 °, môžete pomocou substitúcie dokázať, že uhol A a uhol B súčet je až 180 °.
5. Zostavte svoje kroky v logickom poradí. Začnite s dôkazmi na začiatku a dopracujte sa k záveru. Aj keď je užitočné zamyslieť sa nad dôkazmi, začatím záveru a postupom späť budete pri predložení skutočných dôkazov záver uvádzať na konci. Vyhlásenia v dôkazoch by mali plynúť jeden od druhého s odôvodnením každého tvrdenia, aby neexistoval dôvod na pochybnosti o platnosti vašich dôkazov.
   • Začnite zoznamom predpokladov, s ktorými pracujete.
   • Rozdeľte ich na jednoduché a jasné kroky, aby sa čitateľ nemusel čudovať, ako jeden krok logicky plynie od druhého.
   • Nie je nezvyčajné formulovať niekoľko dôkazov o koncepcii. Usporiadajte ďalšie kroky, kým nie sú všetky kroky v najlogickejšom poradí.
   • Napríklad: začnite na začiatku.
     • Uhol A a uhol B tvoria lineárny pár.
     • Roh ABC je rovný.
     • Uhol ABC je 180 °.
     • Uhol A + uhol B = uhol ABC.
     • Uhol A + uhol B = 180 °.
     • Uhol A je doplnkom k uhlu B.
6. Nepoužívajte šípky a skratky v písomných dôkazoch. Pri navrhovaní plánu pre svoj dôkaz môžete použiť skratku a symboly, ale pri písaní záverečného testu môžu čitateľa zmiasť symboly, napríklad šípky. Namiesto toho používajte slová ako „potom“ alebo „tak“.
   • Výnimky pre použitie skratiek sú: napr. (Napríklad) a t.j. (t.j.), nezabudnite ich však používať správne.
7. Podporte všetky tvrdenia vetou (vetou), zákonom alebo definíciou. Dôkazy sú iba také dobré ako použité dôkazy. Nemôžete urobiť vyhlásenie bez toho, aby ste ho podložili definíciou. Ako príklad uveďte ďalšie podobné dôkazy.
   • Pokúste sa použiť svoje dôkazy na prípad, keď nepravdivé musí byť a overiť, či je to skutočne tak. Ak výsledok nie je nepravdivý, upravte dôkaz tak, aby bol.
   • Mnoho geometrických dôkazov sa píše ako dvojstĺpcový dôkaz s výrokom a dôkazom. Formálny matematický dôkaz určený na zverejnenie sa píše ako odsek so správnou gramatikou.
8. Ukončite to záverom alebo Q.E.D. Konečným dôkazom musí byť hypotéza, ktorú ste sa snažili dokázať. Keď urobíte toto vyhlásenie, uzavrite dôkaz konečným symbolom, napríklad Q.E.D. alebo plný štvorec, ktorý označuje, že dôkaz je úplný.
   • Q.E.D. znamená „quod erat demonstrandum“ (latinsky „to, čo bolo treba dokázať“).
   • Ak si nie ste istí, či sú vaše dôkazy správne, stačí napísať niekoľkými vetami, aký je váš záver a prečo sú významné.

Tipy

• Všetky vaše údaje sa musia týkať vášho konečného dôkazu. Ak záznam neprispieva vôbec nič, môžete ho vylúčiť.