Obsah

• Kroky
• Časť 1 z 2: Uhly v radiánoch
• Časť 2 z 2: Súradnice x-y (kosínus, sínus)
• Tipy

Jednotkový kruh sa používa nielen v trigonometrii a geometrii, ale aj v iných odvetviach matematiky. Zapamätanie si všetkých singulárnych bodov na ňom je na prvý pohľad dosť ťažké, ale ak porozumiete základnému princípu, môžete ľahko použiť jednotkový kruh.

Kroky

Časť 1 z 2: Uhly v radiánoch

1. 1 Nakreslite dve kolmé čiary. Vezmite veľký kus papiera a pravítko a nakreslite zvislé a vodorovné čiary. Priesečník týchto čiar by mal ležať približne v strede listu. Toto budú osi X a r.
2. 2 Nakreslite kruh. Vezmite kompas, vložte jeho ihlu do priesečníka čiar a nakreslite veľký kruh.
3. 3 Zoznámte sa s pojmom radián. Radián je merná jednotka uhlov. Podľa definície sa uhol jedného radiánu odrezáva na obvode jednotky polomer oblúk jednotkovej dĺžky. V celej tejto časti budú body označené ich zodpovedajúcimi hodnotami v radiánoch. Ak si pamätáte vzťah medzi obvodom kruhu a jeho polomerom, môžete tieto hodnoty ľahko určiť pozdĺž jednotkovej kružnice, aj keď ste na ne zabudli.
   • Pri meraní uhlov pozdĺž jednotkovej kružnice sa ako východiskový bod vždy berie bod so súradnicami (0; 1). Pre prehľadnosť si môžete predstaviť jednotkový kruh vo forme veternej ružice, potom bude referenčný bod zodpovedať východnému smeru.
4. 4 Nezabudnite, že celková dĺžka jednotkového kruhu je 2π. Obvod je 2πr, kde r - jeho polomer. Pretože polomer jednotkovej kružnice je 1, jej dĺžka je 2π. Odtiaľto môžete nájsť hodnotu v radiánoch pre každý bod kruhu: stačí vziať 2π a vydeliť zlomkom kruhu, ktorý zodpovedá tomuto bodu. Je to oveľa jednoduchšie, ako sa pokúšať naučiť sa hodnoty v každom bode jednotkového kruhu.
5. 5 Na osiach označte štyri body X a r. Tieto body rozdelia kruh na štyri kvadranty (štvrtiny):
   • „východ“ je referenčný bod, takže zodpovedá 0 radiány;
   • "sever" = ¼ kruh = /₄ = /₂ radiány;
   • „západ“ = polkruh = /₂ = π radiány;
   • „juh“ = tri štvrtiny kruhu = 2π * ¾ = /₂ radiány;
   • po prejdení celého kruhu sa vrátime do východiskového bodu, takže spolu s 0 mu možno priradiť hodnotu 2π.
6. 6 Rozdeľte kruh na osem častí. Stredom každého kvadrantu nakreslite rovné čiary tak, aby ich znížili na polovicu. Pre body priesečníka čiar s kruhom získame nasledujúce hodnoty v radiánoch:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (body π / 2, π, 3π / 2 a 2π sú už označené).
7. 7 Rozdeľte kruh na šesť častí. Nakreslite ďalšie čiary, ktoré rozdelia kruh na šesť častí. Na to môžete použiť uhlomer: začnite od kladného smeru osi X a odložte 60 stupňové uhly. Pomocou metódy opísanej vyššie je ľahké určiť, že šiesta časť kruhu je /₆ = /₃ radiány. Teraz môžeme kruhom označiť priesečníky nových čiar (jeden v každom kvadrante):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (hodnoty π a 2π už boli zaznamenané).
8. 8 Nakreslite čiary, ktoré rozdelia kruh na 12 častí. Zostáva rozdeliť jednotkový kruh na 12 rovnakých častí. Z týchto bodov neboli predtým zaznamenané iba štyri:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Časť 2 z 2: Súradnice x-y (kosínus, sínus)

1. 1 Zoznámte sa s pojmami sínus a kosínus. Jednotkový kruh je skvelý na prácu s pravouhlými trojuholníkmi. Súradnice X body ležiace na kruhu sa rovnajú cos (θ) a súradniciam r zodpovedajú sin (θ), kde θ je uhol.
   • Ak je pre vás ťažké zapamätať si toto pravidlo, nezabudnite, že v páre (cos; sin) „sínus je na poslednom mieste“.
   • Toto pravidlo možno odvodiť, ak vezmeme do úvahy pravouhlé trojuholníky a definíciu týchto goniometrických funkcií (sínus uhla sa rovná pomeru dĺžky opaku a kosínus je priľahlá noha k prepone).
2. 2 Zapíšte si súradnice štyroch bodov do kruhu. „Jednotkový kruh“ je kruh, ktorého polomer je rovný jednej. Toto sa používa na určenie súradníc X a r v štyroch bodoch priesečníka súradnicových osí s kruhom. Hore sme tieto body kvôli prehľadnosti označili ako „východ“, „sever“, „západ“ a „juh“, aj keď nemajú ustálený názov.
   • „Východ“ zodpovedá bodu so súradnicami (1; 0).
   • „Sever“ zodpovedá bodu so súradnicami (0; 1).
   • „Západ“ zodpovedá bodu so súradnicami (-1; 0).
   • „Juh“ zodpovedá bodu so súradnicami (0; -1).
   • To je to isté ako normálny graf, takže nie je potrebné si tieto hodnoty pamätať, stačí si zapamätať základný princíp.
3. 3 Zapamätajte si súradnice bodov v prvom kvadrante. Prvý kvadrant sa nachádza v pravom hornom rohu kruhu, kde sú súradnice X a r vezmite kladné hodnoty. Toto sú jediné súradnice, ktoré si musíte zapamätať:
   • bodka /₆ má súradnice (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • bodka /₄ má súradnice (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • bodka /₃ má súradnice (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • všimnite si, že čitateľ akceptuje iba tri hodnoty. Ak sa pohybujete v pozitívnom smere (zľava doprava pozdĺž osi) X a zdola nahor pozdĺž osi r), čitateľ naberie hodnoty 1 → √2 → √3.
4. 4 Nakreslite rovné čiary a určte súradnice bodov ich priesečníka s kruhom. Ak nakreslíte rovné vodorovné a zvislé čiary z bodov jedného kvadrantu, druhé body priesečníka týchto čiar s kruhom budú mať súradnice X a r s rovnakými absolútnymi hodnotami, ale rôznymi znakmi. Inými slovami, z bodov prvého kvadrantu môžete nakresliť vodorovné a zvislé čiary a body priesečníka s kruhom podpísať rovnakými súradnicami, ale zároveň ponechať priestor pre správne znamienko („+“ alebo „- ") naľavo.
   • Môžete napríklad nakresliť vodorovnú čiaru medzi bodmi /₃ a /₃... Pretože prvý bod má súradnice (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$), súradnice druhého bodu budú (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? {{ frac { sqrt {3}} {2}}}$), kde je namiesto znamienka „+“ alebo „-“ umiestnený otáznik.
   • Použite najjednoduchšiu metódu: všimnite si menovatele súradníc bodov v radiánoch. Všetky body so menovateľom 3 majú rovnaké absolútne súradnicové hodnoty. To isté platí pre body so menovateľmi 4 a 6.
5. 5 Na určenie znamienka súradníc použite pravidlá symetrie. Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť, kam umiestniť znak „-“:
   • zapamätajte si základné pravidlá pre pravidelné grafy. Os X negatívne vľavo a pozitívne vpravo. Os r negatívne dole a pozitívne hore;
   • začnite v prvom kvadrante a nakreslite čiary do ďalších bodov. Ak čiara pretína os r, koordinovať X zmení svoje znamenie. Ak čiara pretína os X, zmení sa znamienko súradnice r;
   • pamätajte, že v prvom kvadrante sú všetky funkcie kladné, v druhom kvadrante je kladný iba sínus, v treťom kvadrante je kladná iba dotyčnica a vo štvrtom kvadrante je kladný iba kosínus;
   • bez ohľadu na to, ktorú metódu použijete, prvý kvadrant by mal byť ( +, +), druhý ( -, +), tretí ( -, -) a štvrtý ( +, -).
6. 6 Skontrolujte, či sa nemýlite. Nasleduje kompletný zoznam súradníc „špeciálnych“ bodov (okrem štyroch bodov na súradnicových osiach), ak sa pohybujete po jednotkovej kružnici proti smeru hodinových ručičiek. Nezabudnite, že na určenie všetkých týchto hodnôt stačí pamätať si súradnice bodov iba v prvom kvadrante:
   • prvý kvadrant: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • druhý kvadrant: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • tretí kvadrant: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • štvrtý kvadrant: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac { sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Tipy

• Ak potrebujete jednotkový kruh použiť na test alebo skúšku, nakreslite ho na koncept.
• S trochou praxe by ste mali byť schopní rýchlo nakresliť jednotkový kruh. Časom budete môcť kresliť iba sekery X a r alebo dokonca urobiť bez diagramu.