Obsah

• Kroky
• Časť 1 zo 4: Ako napísať rovnicu
• Časť 2 zo 4: Ako napísať Euklidov algoritmus
• Časť 3 zo 4: Ako nájsť riešenie pomocou Euclidovho algoritmu
• Časť 4 zo 4: Nájdite nekonečné ďalšie riešenia

Na vyriešenie lineárnej diofantínovej rovnice musíte nájsť hodnoty premenných „x“ a „y“, ktoré sú celé čísla. Celé riešenie je zložitejšie ako obvykle a vyžaduje si konkrétny súbor akcií. Najprv musíte vypočítať najväčší spoločný deliteľ (GCD) koeficientov a potom nájsť riešenie. Keď nájdete jedno celočíselné riešenie lineárnej rovnice, môžete pomocou jednoduchého vzoru nájsť nekonečné množstvo ďalších riešení.

Kroky

Časť 1 zo 4: Ako napísať rovnicu

1. 1 Rovnicu napíšte v štandardnej forme. Lineárna rovnica je rovnica, v ktorej exponenty premenných nepresahujú 1. Na vyriešenie takejto lineárnej rovnice ju najskôr napíšte v štandardnej forme. Štandardná forma lineárnej rovnice vyzerá takto: ${ displaystyle Axe + By = C}$, kde ${ displaystyle A, B}$ a ${ displaystyle C}$ - celé čísla.
   • Ak je rovnica uvedená v inom tvare, upravte ju na štandardnú formu pomocou základných algebraických operácií. Napríklad vzhľadom na rovnicu ${ Displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... Zadajte podobné výrazy a napíšte rovnicu takto: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Zjednodušte rovnicu (ak je to možné). Keď píšete rovnicu v štandardnej forme, pozrite sa na koeficienty ${ displaystyle A, B}$ a ${ displaystyle C}$... Ak majú tieto kurzy GCD, vydelte ním všetky tri kurzy. Riešením takto zjednodušenej rovnice bude aj riešenie pôvodnej rovnice.
   • Ak sú napríklad všetky tri koeficienty párne, delte ich aspoň 2. Napríklad:
     • ${ Displaystyle 42x + 36y = 48}$ (všetci členovia sú deliteľní 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (teraz sú všetky členy deliteľné 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (túto rovnicu už nie je možné zjednodušiť)
3. 3 Skontrolujte, či je možné rovnicu vyriešiť. V niektorých prípadoch môžete okamžite povedať, že rovnica nemá žiadne riešenia. Ak koeficient „C“ nie je deliteľný GCD koeficientov „A“ a „B“, rovnica nemá žiadne riešenia.
   • Napríklad, ak oba koeficienty ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ sú rovnomerné, potom koeficient ${ displaystyle C}$ musí byť rovnomerné Ale ak ${ displaystyle C}$ zvláštne, potom neexistuje riešenie.
     • Rovnica ${ Displaystyle 2x + 4y = 21}$ žiadne celočíselné riešenia.
     • Rovnica ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ neexistujú žiadne celočíselné riešenia, pretože ľavú stranu rovnice delíme 5 a pravú nie.

Časť 2 zo 4: Ako napísať Euklidov algoritmus

1. 1 Pochopte Euclidov algoritmus. Ide o sériu opakovaných delení, v ktorých sa predchádzajúci zvyšok použije ako ďalší deliteľ. Posledný deliteľ, ktorý delí čísla integrálne, je najväčší spoločný deliteľ (GCD) týchto dvoch čísel.
   • Nájdeme napríklad GCD čísel 272 a 36 pomocou Euclidovho algoritmu:
     • ${ Displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Vydeľte väčšie číslo (272) menším (36) a dávajte pozor na zvyšok (20);
     • ${ Displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - rozdeliť predchádzajúci deliteľ (36) na predchádzajúci zvyšok (20). Všimnite si nového zvyšku (16);
     • ${ Displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - rozdeliť predchádzajúci deliteľ (20) na predchádzajúci zvyšok (16). Všimnite si nového zvyšku (4);
     • ${ Displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Rozdeľte predchádzajúci deliteľ (16) na predchádzajúci zvyšok (4). Pretože zvyšok je 0, môžeme povedať, že 4 je GCD pôvodných dvoch čísiel 272 a 36.
2. 2 Aplikujte Euclidov algoritmus na koeficienty „A“ a „B“. Keď píšete lineárnu rovnicu v štandardnej forme, určte koeficienty „A“ a „B“ a potom na ne použite Euklidov algoritmus, aby ste našli GCD. Napríklad vzhľadom na lineárnu rovnicu ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Tu je Euclidov algoritmus pre koeficienty A = 87 a B = 64:
     • ${ Displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ Displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ Displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ Displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ Displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ Displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Nájdite najväčší spoločný faktor (GCD). Pretože posledný deliteľ bol 1, GCD 87 a 64 sú 1. 87 a 64 sú teda vzájomné prvočísla.
4. 4 Analyzujte výsledok. Keď nájdete koeficienty gcd ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$, porovnajte to s koeficientom ${ displaystyle C}$ pôvodná rovnica. Ak ${ displaystyle C}$ deliteľné pomocou gcd ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$, rovnica má celočíselné riešenie; inak rovnica nemá žiadne riešenia.
   • Napríklad rovnica ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ je možné vyriešiť, pretože 3 je deliteľné 1 (gcd = 1).
   • Predpokladajme napríklad, že GCD = 5. 3 nie je rovnomerne deliteľné piatimi, takže táto rovnica nemá žiadne celočíselné riešenia.
   • Ako je uvedené nižšie, ak má rovnica jedno celočíselné riešenie, má tiež nekonečný počet ďalších celočíselných riešení.

Časť 3 zo 4: Ako nájsť riešenie pomocou Euclidovho algoritmu

1. 1 Očíslite kroky na výpočet GCD. Ak chcete nájsť riešenie lineárnej rovnice, musíte použiť euklidovský algoritmus ako základ pre proces substitúcie a zjednodušenia.
   • Začnite číslovaním krokov na výpočet GCD. Proces výpočtu vyzerá takto:
     • ${ displaystyle { text {Step 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Step 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Step 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Step 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Step 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Step 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Step 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Dávajte pozor na posledný krok, kde je zvyšok. Prepíšte rovnicu pre tento krok, aby ste izolovali zvyšok.
   • V našom prípade je posledným krokom so zvyškom krok 6. Zvyšok je 1. Prepíšte rovnicu v kroku 6 nasledovne:
     • ${ Displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Izolujte zvyšok predchádzajúceho kroku. Tento proces je krok za krokom „posun hore“. Zakaždým budete izolovať zvyšok v rovnici v predchádzajúcom kroku.
   • V kroku 5 izolujte zvyšok rovnice:
     • ${ Displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ alebo ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Nahradiť a zjednodušiť. Všimnite si, že rovnica v kroku 6 obsahuje číslo 2 a v rovnici v kroku 5 je číslo 2 izolované. Takže namiesto „2“ v rovnici v kroku 6 nahraďte výraz v kroku 5:
   • ${ Displaystyle 1 = 3-2}$ (rovnica z kroku 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (namiesto 2 bol nahradený výraz)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (otvorené zátvorky)
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (zjednodušené)
5. 5 Opakujte proces nahradenia a zjednodušenia. Opakujte opísaný postup a prechádzajte euklidovským algoritmom v opačnom poradí. Zakaždým prepíšete rovnicu z predchádzajúceho kroku a zapojíte ju do poslednej získanej rovnice.
   • Posledný krok, na ktorý sme sa pozreli, bol krok 5. Prejdite teda na krok 4 a izolujte zvyšok v rovnici pre tento krok:
     • ${ Displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Nahraďte tento výraz „3“ v poslednej rovnici:
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Pokračujte v procese nahradenia a zjednodušenia. Tento proces sa bude opakovať, kým nedosiahnete počiatočný krok euklidovského algoritmu. Cieľom postupu je napísať rovnicu s koeficientmi 87 a 64 pôvodnej rovnice, ktorá sa má vyriešiť. V našom prípade:
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (nahradilo výraz z kroku 3)
     • ${ Displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (nahradilo výraz z kroku 2)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (nahradilo výraz z kroku 1)
     • ${ Displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ Displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Výslednú rovnicu prepíšte podľa pôvodných koeficientov. Keď sa vrátite k prvému kroku euklidovského algoritmu, uvidíte, že výsledná rovnica obsahuje dva koeficienty pôvodnej rovnice. Rovnicu prepíšte tak, aby sa poradie jej výrazov zhodovalo s koeficientmi pôvodnej rovnice.
   • V našom prípade pôvodná rovnica ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... Výslednú rovnicu preto prepíšte tak, aby sa koeficienty uviedli do súladu.Zvláštnu pozornosť venujte koeficientu „64“. V pôvodnej rovnici je tento koeficient záporný a v euklidovskom algoritme je kladný. Faktor 34 musí byť preto záporný. Konečná rovnica bude zapísaná takto:
     • ${ Displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Na nájdenie riešenia použite príslušný multiplikátor. Všimnite si, že v našom prípade je GCD = 1, takže konečná rovnica je 1. Pôvodná rovnica (87x-64y) je 3. Preto všetky výrazy v konečnej rovnici musia byť vynásobené 3, aby sa získalo riešenie:
   • ${ Displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Zapíšte celočíselné riešenie rovnice. Riešením tejto rovnice sú čísla vynásobené koeficientmi pôvodnej rovnice.
   • V našom prípade napíšte riešenie ako dvojicu súradníc: ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

Časť 4 zo 4: Nájdite nekonečné ďalšie riešenia

1. 1 Pochopte, že existuje nekonečné množstvo riešení. Ak má lineárna rovnica jedno celočíselné riešenie, potom musí mať nekonečne veľa celočíselných riešení. Tu je rýchly dôkaz (v algebraickej forme):
   • ${ displaystyle Axe + By = C}$
   • ${ Displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (ak k „x“ pripočítate „B“ a od „y“ odčítate „A“, hodnota pôvodnej rovnice sa nezmení)
2. 2 Zaznamenajte pôvodné hodnoty x a y. Šablóna na výpočet ďalších (nekonečných) riešení začína jediným riešením, ktoré ste už našli.
   • V našom prípade je riešením dvojica súradníc ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 K hodnote „x“ pripočítajte faktor „B“. Vykonajte to, aby ste našli novú hodnotu x.
   • V našom prípade x = -75 a B = -64:
     • ${ Displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Nová hodnota "x": x = -139.
4. 4 Od hodnoty „y“ odpočítajte faktor „A“. Aby sa hodnota pôvodnej rovnice nemenila, pri pripočítaní jedného čísla k „x“ musíte od „y“ odpočítať ďalšie číslo.
   • V našom prípade y = -102 a A = 87:
     • ${ Displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • Nová hodnota pre „y“: y = -189.
   • Nová dvojica súradníc bude zapísaná takto: ${ displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Skontrolujte riešenie. Aby ste si overili, že nový pár súradníc je riešením pôvodnej rovnice, zapojte hodnoty do rovnice.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ Displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • Keďže je dosiahnutá rovnosť, rozhodnutie je správne.
6. 6 Zapíšte si výrazy a nájdite mnoho riešení. Hodnoty "x" sa budú rovnať pôvodnému riešeniu plus ľubovoľnému násobku faktora "B". Toto možno napísať ako nasledujúci výraz:
   • x (k) = x + k (B), kde „x (k)“ je množina hodnôt „x“ a „x“ je pôvodná (prvá) hodnota „x“, ktorú ste našli.
     • V našom prípade:
     • ${ Displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), kde y (k) je množina hodnôt y a y je pôvodná (prvá) hodnota y, ktorú ste našli.
     • V našom prípade:
     • ${ Displaystyle y (k) = - 102-87k}$