Obsah

• Kroky
• Metóda 1 z 3: Faktoring rovnice
• Metóda 2 z 3: Použitie kvadratického vzorca
• Metóda 3 z 3: Dokončenie námestia
• Tipy

Kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej najväčšia mocnosť premennej je 2. Existujú tri hlavné spôsoby riešenia kvadratických rovníc: ak je to možné, faktorizujte kvadratickú rovnicu, použite kvadratický vzorec alebo doplňte štvorec. Chcete vedieť, ako sa to všetko robí? Pokračuj v čítaní.

Kroky

Metóda 1 z 3: Faktoring rovnice

1. 1 Pridajte všetky podobné prvky a preneste ich na jednu stranu rovnice. Toto bude prvý krok, význam ${ displaystyle x ^ {2}}$ v tomto prípade by mal zostať pozitívny. Sčítajte alebo odčítajte všetky hodnoty ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ a konštantný, prenáša všetko do jednej časti a v druhej ponechá 0. Postupujte takto:
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktor výraz. Na to musíte použiť hodnoty ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konštantné hodnoty (-4), musia byť vynásobené a tvoria -11. Postupujte takto:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ má iba dva možné faktory: ${ displaystyle 3x}$ a ${ displaystyle x}$môžu byť zapísané v zátvorkách: ${ Displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Potom nahradením činiteľov 4 nájdeme kombináciu, ktorá po vynásobení dáva -11x. Môžete použiť kombináciu 4 a 1 alebo 2 a 2, pretože obe dávajú 4. Nezabudnite, že hodnoty musia byť záporné, pretože máme -4.
   • Prostredníctvom pokusu a omylu získate kombináciu ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Pri násobení dostaneme ${ Displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Pripojením ${ displaystyle -12x}$ a ${ displaystyle x}$, dostaneme stredný termín ${ displaystyle -11x}$ktoré sme hľadali. Kvadratická rovnica je faktorizovaná.
   • Skúsme napríklad nevhodnú kombináciu: (${ Displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ Displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombináciou dostaneme ${ Displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Hoci sa faktory -2 a 2 násobia na -4, stredný termín nefunguje, pretože sme chceli získať ${ displaystyle -11x}$, ale nie ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 Každý výraz v zátvorkách prirovnajte k nule (ako samostatné rovnice). Takto nachádzame dva významy ${ displaystyle x}$pre ktorú je celá rovnica rovná nule, ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Teraz zostáva rovnať nule každý z výrazov v zátvorkách. Prečo? Ide o to, že súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. As ${ Displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ je nula, potom buď (3x + 1) alebo (x - 4) je nula. Zapíšte si ${ Displaystyle 3x + 1 = 0}$ a ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Vyriešte každú rovnicu samostatne. V kvadratickej rovnici má x dva významy. Vyriešte rovnice a napíšte hodnoty x:
   • Vyriešte rovnicu 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... odčítaním
     • 3x / 3 = -1/3 ..... delením
     • x = -1/3 ..... po zjednodušení
   • Vyriešte rovnicu x - 4 = 0
     • x = 4 ..... odčítaním
   • x = (-1/3, 4) ..... možné hodnoty, t.j. x = -1/3 alebo x = 4.
5. 5 Skontrolujte x = -1/3 zapojením tejto hodnoty do (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... striedaním
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... po zjednodušení
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... po vynásobení
   • 0 = 0, takže x = -1/3 je správna odpoveď.
6. 6 Skontrolujte x = 4 zapojením tejto hodnoty do (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4) 5 =? 0 ..... striedaním
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... po zjednodušení
   • (13) (0) = 0 ..... po vynásobení
   • 0 = 0, preto x = 4 je správna odpoveď.
   • Obe riešenia sú teda správne.

Metóda 2 z 3: Použitie kvadratického vzorca

1. 1 Skombinujte všetky výrazy a napíšte na jednu stranu rovnice. Uložte hodnotu ${ displaystyle x ^ {2}}$ pozitívne. Termíny napíšte v poradí klesajúcich stupňov, teda výraz ${ displaystyle x ^ {2}}$ najskôr sa píše ${ displaystyle x}$ a potom konštanta:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Napíšte vzorec pre korene kvadratickej rovnice. Vzorec vyzerá takto: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}}} {2a}}}$
3. 3 Určte hodnoty a, b, a c v kvadratickej rovnici. Variabilné a je koeficient výrazu x, b - člen x, c - konštantný. Pre rovnicu 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, a c = -8. Napíš to.
4. 4 Zapíšte hodnoty a, b, c do rovnice. Keď poznáte hodnoty troch premenných, môžete ich vložiť do rovnice nasledovne:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Spočítaj si to. Nahraďte hodnoty, zjednodušte klady a zápory a zvyšné výrazy vynásobte alebo skráťte:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Zjednodušte druhú odmocninu. Ak je druhá odmocnina druhá mocnina, dostanete celé číslo. Ak nie, zjednodušte ho na najjednoduchšiu koreňovú hodnotu. Ak je číslo záporné, a ste si istí, že to musí byť negatívne, potom budú korene zložité. V tomto prípade √ (121) = 11. Môžete napísať, že x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 Nájdite pozitívne a negatívne riešenia. Ak ste odstránili odmocninu, môžete pokračovať, kým nenájdete kladné a záporné hodnoty x. Keď máte (5 +/- 11) / 6, môžete napísať:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Nájdite kladné a záporné hodnoty. Stačí počítať:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Zjednodušiť. Ak to chcete urobiť, jednoducho rozdeľte obe podľa najväčšieho spoločného faktora. Vydeľte prvý zlomok 2, druhý 6, x sa nájde.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Metóda 3 z 3: Dokončenie námestia

1. 1 Presuňte všetky výrazy na jednu stranu rovnice.a alebo x musí byť kladné. To sa robí takto:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • V tejto rovnici a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Prestupový člen c (trvalé) na druhú stranu. Konštanta je výraz v rovnici, ktorý obsahuje iba číselnú hodnotu bez premenných.Presuňte ho na pravú stranu:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Obe časti rozdeľte podľa faktorov a alebo x. Ak x nemá žiadny koeficient, potom sa rovná jednej a tento krok je možné preskočiť. V našom prípade delíme všetkých členov na 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Rozdeliť b o 2, štvorec a pridajte na obe strany. V našom prípade b rovná sa -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Zjednodušte obe strany. Zlomte výrazy vľavo a získajte (x-3) (x-3) alebo (x-3). Pridajte výrazy vpravo a urobte 9/2 + 9 alebo 9/2 + 18/2, čo je 27/2.
6. 6 Extrahujte odmocninu z oboch strán. Druhá odmocnina z (x-3) je jednoducho (x-3). Druhá odmocnina z 27/2 môže byť zapísaná ako ± √ (27/2). Teda x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Zjednodušte radikálne vyjadrenie a nájdi x. Na zjednodušenie ± √ (27/2) nájdite perfektný štvorec v číslach 27 a 2 alebo v ich faktoroch. V 27 je úplný štvorec 9, pretože 9 x 3 = 27. Ak chcete z koreňového znaku odvodiť 9, vezmite z neho koreň a od koreňového znamienka odčítajte 3. Ponechajte 3 v čitateľoch zlomku pod koreňovým znamienkom, pretože tento faktor nie je možné extrahovať, a tiež nechajte 2 v spodnej časti. Ďalej presuňte konštantu 3 z ľavej strany rovnice na pravú stranu a napíšte dve riešenia pre x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tipy

• Ak číslo pod koreňovým znamienkom nie je úplný štvorec, potom sa posledných niekoľko krokov vykoná trochu inak. Tu je príklad:
• Ako vidíte, koreňový znak nezmizol. Týmto spôsobom nie je možné kombinovať výrazy v čitateľoch. Potom nemá zmysel deliť plus alebo mínus. Namiesto toho rozdeľujeme všetky bežné faktory - ale iba ak je faktor spoločný pre konštantu a koreňový koeficient.