Analyzujte kvadratické rovnice na faktory - Tipy

Video: How To Solve Quadratic Equations By Factoring - Quick & Simple!

Obsah

Kroky
Rada
Čo potrebuješ

V matematike faktorová analýza je nájsť čísla alebo výrazy s produktom daného čísla alebo rovnice. Faktorová analýza je užitočná zručnosť, ktorú si treba osvojiť pri riešení základných algebraických problémov: schopnosť dobre faktorizovať je pri práci takmer rozhodujúca. s algebraickými rovnicami alebo inými polynomiálnymi formami. Na redukciu algebraických výrazov je možné použiť faktorovú analýzu, ktorá problém zjednoduší. Vďaka nej môžete dokonca eliminovať určité možné odpovede oveľa rýchlejšie, ako keď ich budete riešiť ručne.

Kroky

Metóda 1 z 3: Analyzujte čísla a základné algebraické výrazy do faktorov

Pochopte definíciu faktorovej analýzy pri použití na jednotlivé čísla. Aj keď je to koncepčne jednoduché, v praxi môže byť použitie zložitých rovníc dosť náročné. Najjednoduchší koncepčný prístup k faktorovej analýze je preto začať od jednoduchých čísel a potom prejsť na jednoduché rovnice a až potom pokračovať v pokročilejších aplikáciách. Faktor pre dané číslo sú čísla s produktom rovnakého čísla. Napríklad 1, 12, 2, 6, 3 a 4 sú faktory 12, pretože 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4 sa rovnajú 12.
- Inými slovami, faktormi daného čísla sú čísla je rozdelený týmto číslom.
- Nájdete plný faktor 60? Číslo 60 sa používa na rôzne účely (minúty za hodinu, sekundy za minútu atď.), Pretože je deliteľné mnohými číslami.
  - Číslo 60 má nasledujúce faktory: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.
Pochopte, že výrazy obsahujúce premenné možno tiež faktorizovať. Okrem nezávislých čísel je možné faktorizovať aj premenné s aritmetickými koeficientmi. Aby sme to dosiahli, musíme len nájsť faktory koeficientu premennej. Vedieť faktorizovať analýzu je veľmi užitočné pri jednoduchej transformácii algebraických rovníc, ktoré obsahujú premenné.
- Napríklad 12x možno prepísať na výsledky 12 a x. Je možné písať 12x ako 3 (4x), 2 (6x) atď. A použiť akýkoľvek faktor, ktorý najlepšie vyhovuje zamýšľanému použitiu 12.
  - Môžete dokonca zájsť až k 12-násobnej analýze veľa krát. Inými slovami, nie je potrebné zastaviť sa na 3 (4x) alebo 2 (6x) - môžeme analyzovať 4x a 6x, aby sme dostali 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)). Tento vzorec je ekvivalentný.
Aplikujte asociatívne vlastnosti násobenia na faktorizáciu algebraických rovníc. Pomocou svojich vedomostí o analýze nezávislých čísel aj koeficientov na faktory môžete zjednodušiť jednoduché algebraické rovnice nájdením bežných faktorov čísel a premenných zahrnutých do rovnice. Aby bola rovnica čo najjednoduchšia, často sa pokúsime nájsť najväčšieho spoločného deliteľa. Táto jednoduchá transformácia je možná vďaka asociatívnej povahe násobenia - pre každé číslo a, b a c máme: a (b + c) = ab + ac.
- Uvažujme o nasledujúcom príklade problému. Aby sme algebraickú rovnicu 12x + 6 rozdelili na faktor, najskôr nájdeme najväčší spoločný deliteľ 12x a 6. 6 je najväčšie číslo, ktorým je možné deliť 12x aj 6, takže môžeme transformovať znížte rovnicu na 6 (2x + 1).
- Rovnaký postup platí aj pre rovnice, ktoré majú negatívne znaky a zlomky. Napríklad x / 2 + 4 možno jednoducho previesť na 1/2 (x + 8) a -7x + -21 možno rozložiť na -7 (x + 3).
reklama

Metóda 2 z 3: Analýza kvadratických rovníc do faktorov

Uistite sa, že rovnica je v kvadratickom tvare (ax + bx + c = 0). Kvadratická rovnica má tvar ax + bx + c = 0, kde a, b a c sú konštanty a a je nenulová (všimnite si, že a smieť rovná sa 1 alebo -1). Ak rovnica jednej premennej (x) obsahuje jeden alebo viac výrazov, ktoré obsahujú štvorec x, môžete často pomocou základnej algebry transformovať jednu stranu znamienka rovnosti na 0 a nechať os a podobne. na druhej strane.
- Napríklad algebraickú rovnicu 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 možno znížiť na x + 6x + 9 = 0, čo je kvadratický tvar.
- Rovnice, kde x má vyšší exponent, napríklad x, x atď. nemôže byť kvadratický. Sú kvadratické, kvartérne, ... pokiaľ nie je možné rovnicu znížiť redukciou členov, ktoré obsahujú mocniny 3 alebo viac z x.
Pri kvadratických rovniciach, keď a = 1, sa rozkladáme na (x + d) (x + e), kde d × e = c a d + e = b. Ak je kvadratická rovnica v tvare x + bx + c = 0 (alebo inými slovami, ak je koeficient x = 1), existuje možnosť (ale nie istá), že môžeme použiť pomerne rýchly výpočet. je jednoduché túto rovnicu zohľadniť. Nájdite dve čísla rovnajúce sa c a súčet sa rovná b. Keď nájdete d a e, nahraďte ich nasledujúcim výrazom: (x + d) (x + e). Po spoločnom vynásobení nám tieto dva prvky dajú kvadratickú rovnicu vyššie - inými slovami, sú to faktory rovnice.
- Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu x + 5x + 6 = 0. 3 a 2 majú súčin 6 a súčasne ich majú spolu 5. Preto môžeme rovnicu jednoducho previesť na (x + 3) ( x + 2).
- Táto základná rýchla oprava sa bude trochu líšiť, keď sa samotná rovnica bude trochu líšiť:
  - Ak je kvadratická rovnica v tvare x-bx + c, vaša odpoveď bude mať tvar: (x - _) (x - _).
  - Ak je to v tvare x + bx + c, vaša odpoveď bude: (x + _) (x + _).
  - Ak je vo formáte x-bx-c, vaša odpoveď bude v tvare (x + _) (x - _).
- Poznámka: v medzerách môžu byť zlomky alebo desatinné miesta. Napríklad rovnica x + (21/2) x + 5 = 0 sa rozkladá na (x + 10) (x + 1/2).
Ak je to možné, vykonajte faktorovú analýzu testovaním. Verte tomu alebo nie, s nekomplikovanou kvadratickou rovnicou je jednou z prijatých metód faktorizácie jednoducho pozrieť sa na problém a potom zvážiť všetky možné odpovede, kým sa nenájde výsledok. správna odpoveď. Je tiež známa ako testovacia metóda.Ak má rovnica tvar ax + bx + c a a> 1, bude mať vaša faktorizácia tvar (dx +/- _) (ex +/- _), kde d a e sú konštanty druhý sa nerovná a. d alebo e (alebo oboje) smieť sa rovná 1, aj keď to nevyhnutne nebude. Ak sú obe rovné 1, použili by ste v zásade rýchlu prácu uvedenú vyššie.
- Zvážte nasledujúci príklad problému. Na prvý pohľad vyzerá 3x - 8x + 4 pekne zastrašujúco. Keď si však uvedomíte, že 3 má iba dva faktory (3 a 1), problém sa stane ľahším, pretože vieme, že odpoveď musí mať formu (3x +/- _) (x +/- _). V takom prípade nahradenie -2 v obidvoch medzerách dáva správnu odpoveď. -2 × 3x = -6x a -2 × x = -2x. -6x a -2x spolu sa rovná -8x. -2 × -2 = 4, takže je zrejmé, že prvky uvedené v zátvorkách nám dávajú počiatočnú rovnicu.
Vyriešte problém vyplnením štvorca. V niektorých prípadoch možno kvadratické rovnice rýchlo a ľahko vynásobiť pomocou špeciálnej algebraickej identity. Akákoľvek kvadratická rovnica tvaru x + 2xh + h = (x + h). Ak je teda v rovnici b dvojnásobná druhá odmocnina c, je možné rovnicu rozložiť na (x + (sqrt (c))).
- Rovnica x + 6x + 9 by fungovala napríklad pre tento tvar. 3 sa rovná 9 a 3 × 2 sa rovná 6. Vieme teda, že faktorizačná forma tejto rovnice je (x + 3) (x + 3) alebo (x + 3).
Riešte kvadratické rovnice s faktormi. Tak či onak, keď už bol kvadratický výraz faktorizovaný, možnú odpoveď na hodnotu x nájdete tak, že dáte každému faktoru nulu a vyriešite ju. Pretože hľadáte hodnotu x takú, aby rovnica bola nulová, každé x, ktoré spôsobí, že faktor bude nulový, bude možným riešením tejto rovnice.
- Vráťte sa k rovnici x + 5x + 6 = 0. Toto sa rozloží na (x + 3) (x + 2) = 0. Keď je jeden faktor nula, celá rovnica sa stane nulou. Možným riešením x sú čísla, ktoré robia (x + 3) a (x + 2) rovné 0, -3 a -2.
Skontrolujte svoje odpovede - niektoré môžu byť exotické! Keď nájdete možné riešenia x, nahraďte ich pôvodnou rovnicou a zistite, či sú správne alebo nie. Odpoveď to niekedy nájde žiaden problém spôsobí, že pôvodná rovnica bude po nahradení nulová. Voláme tieto riešenia Exotické a eliminovať ich.
- Poďme nahradiť -2 a -3 za x + 5x + 6 = 0. Najprv -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Áno, takže -2 je platné riešenie rovnice.
- Teraz to skúsime s -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Platí to tiež, a preto je -3 tiež platným riešením rovnice.
reklama

Metóda 3 z 3: Analyzujte ďalšie typy rovníc na faktory

Ak je rovnica v tvare a-b, rozložte ju na (a + b) (a-b). Rovnica dvoch premenných sa analyzuje inak ako základná kvadratická rovnica. Akákoľvek rovnica a-b, v ktorej a a b nie sú nulové, sa rozloží na (a + b) (a-b).
- Napríklad rovnica 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Ak je rovnica v tvare a + 2ab + b, rozložte ju na (a + b). Upozorňujeme, že ak je trinomiál vo forme a-2ab + b sa faktorizačná forma bude mierne líšiť: (a-b).
- Rovnice 4x + 8xy + 4y možno prepísať na 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Teraz vidíme, že je v správnom tvare, a môžeme s istotou povedať, že faktorizačný tvar tejto rovnice je (2x + 2y).
Ak je rovnica v tvare a-b, rozložte ju na (a-b) (a + ab + b). Na záver treba povedať, že ternárne rovnice a rovnice ešte vyššieho rádu možno faktorizovať. Proces analýzy sa však rýchlo stane neuveriteľne zložitým.
- Napríklad 8x - 27y sa rozkladá na (2x - 3r) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
reklama

Rada

a-b je možné faktorizovať a a + b nie.
Majte na pamäti, ako zohľadniť konštanty - môže to byť užitočné.
Venujte pozornosť frakciám v procese faktorizácie, narábajte s nimi správne a vhodne.
Pri trojzubci x + bx + (b / 2) by bola jeho faktorizácia (x + (b / 2)) (na túto situáciu sa môžete stretnúť pri dokončení štvorca).
Pamätajte, že a0 = 0 (vlastnosť vynásobená nulou).