Obsah

• Na krok
• Metóda 1 z 3: Použitie substitučnej metódy
• Metóda 2 z 3: Použitie eliminačnej metódy
• Metóda 3 z 3: Vytvorte graf rovníc
• Tipy
• Varovania

V „systéme rovníc“ sa požaduje, aby ste vyriešili dve alebo viac rovníc súčasne. Keď tieto dva obsahujú rôzne premenné, napríklad xay, alebo aab, môže byť na prvý pohľad ťažké zistiť, ako ich vyriešiť. Našťastie, akonáhle viete, čo máte robiť, potrebujete na vyriešenie problému len základné matematické zručnosti (a niekedy aj zlomkové znalosti). Ak je to potrebné, alebo ak ste študentom vizuálu, naučte sa tiež grafovať rovnice. Vytvorenie grafu (vykreslenie) grafu môže byť užitočné na „zistenie toho, čo sa deje“, alebo na kontrolu vašej práce, ale môže byť tiež pomalšie ako iné metódy a nefunguje so všetkými systémami rovníc.

Na krok

Metóda 1 z 3: Použitie substitučnej metódy

1. Presuňte premenné na rôzne strany rovnice. Táto „substitučná“ metóda začína „riešením pre x“ (alebo akejkoľvek inej premennej) v jednej z rovníc. Máme napríklad nasledujúce rovnice: 4x + 2r = 8 a 5x + 3x = 9. Najskôr sa pozrieme na prvé porovnanie. Usporiadajte znova odčítaním 2y od každej strany a získate: 4x = 8-2r.
   • Táto metóda často používa zlomky v neskoršej fáze. Môžete tiež použiť nižšie uvedenú eliminačnú metódu, ak nechcete pracovať s frakciami.
2. Rozdelením oboch strán rovnice vyriešte znak „x“. Keď už máte výraz x (alebo akúkoľvek premennú, ktorú používate) na jednej strane rovnice, rozdeľte obe strany rovnice, aby ste premennú izolovali. Napríklad:
   • 4x = 8-2r
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2r / 4)
   • x = 2 - ½r
3. Zapojte to späť do inej rovnice. Nezabudnite sa vrátiť na stránku Ostatné porovnanie, nie to, ktoré ste už použili. V tejto rovnici nahradíte premennú, ktorú ste vyriešili, a ponecháte iba jednu premennú. Napríklad:
   • Teraz viete, že: x = 2 - ½r.
   • Druhá rovnica, ktorú ste ešte nezmenili, je: 5x + 3x = 9.
   • V druhej rovnici nahraďte x znakom „2 - ½y“: 5 (2 - ½r) + 3r = 9.
4. Vyriešte zostávajúcu premennú. Teraz máte rovnicu s iba jednou premennou. Na riešenie tejto premennej použite bežné techniky algebry. Ak sa premenné navzájom rušia, preskočte na posledný krok. V opačnom prípade dostanete odpoveď na jednu z vašich premenných:
   • 5 (2 - ½r) + 3r = 9
   • 10 - (5/2) r + 3r = 9
   • 10 - (5/2) r + (6/2) r = 9 (Ak tomuto kroku nerozumiete, naučte sa pridávať zlomky. Pri tejto metóde je to často, ale nie vždy, nevyhnutné).
   • 10 + ½r = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Odpoveď použite na riešenie inej premennej. Nerobte chybu a dokončite problém v polovici. Budete musieť znovu zadať odpoveď, ktorú ste dostali, do jednej z pôvodných rovníc, aby ste mohli vyriešiť druhú premennú:
   • Teraz viete, že: y = -2
   • Jedna z pôvodných rovníc je: 4x + 2r = 8. (Pre tento krok možno použiť obe rovnice).
   • Pripojte -2 namiesto y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Vedzte, čo robiť, ak sa obe premenné navzájom rušia. Keď ty x = 3y + 2 alebo dostanete podobnú odpoveď v druhej rovnici, snažíte sa získať rovnicu iba s jednou premennou. Niekedy namiesto toho skončíte s rovnicou bez premenné. Dôkladne skontrolujte svoju prácu a nezabudnite nahradiť (preusporiadanú) prvú rovnicu druhou rovnicou, nie prvou rovnicou. Ak ste si istí, že ste neurobili žiadnu chybu, dostanete jeden z nasledujúcich výsledkov:
   • Ak skončíte s rovnicou bez premenných a ktorá nie je pravdivá (napr. 3 = 5), máte problém žiadne riešenie. (Ak ste vytvorili rovnice v grafe, uvidíte, že sú rovnobežné a nikdy sa nepretínajú).
   • Ak skončíte s rovnicou bez premenných, ale tých dobre je pravda (napríklad 3 = 3), potom má problém nekonečné množstvo riešení. Dve rovnice sú si rovné. (Ak nakreslíte tieto dve rovnice v grafe, uvidíte, že sa presne prekrývajú).

Metóda 2 z 3: Použitie eliminačnej metódy

1. Určuje premennú, ktorá sa má vylúčiť. Niekedy sa rovnice vzájomne „vylúčia“ v premennej, akonáhle ich spojíte. Napríklad keď robíte rovnice 3x + 2r = 11 a 5x - 2r = 13 kombinácie, kombinácie „+ 2r“ a „-2y“ sa navzájom zrušia, pričom všetky budú označené „y“s sú vylúčené z rovnice. Pozrite sa na rovnice vo vašom probléme a zistite, či bude niektorá z premenných vylúčená týmto spôsobom. Ak nie je vylúčená žiadna z premenných, prečítajte si ďalšie pokyny v ďalšom kroku.
2. Vynásobením rovnice zrušte premennú. (Tento krok preskočte, ak sa premenné už navzájom vylučovali). Ak sa žiadna z premenných v rovniciach nezruší sama, musíte jednu z rovníc zmeniť tak, aby sa to stalo. Toto je najjednoduchšie pochopiť na príklade:
   • Predpokladajme, že máte systém rovníc 3x - y = 3 a -x + 2r = 4.
   • Zmeňme prvú rovnicu tak, aby bola premenná r je vylúčený. (Môžete to urobiť aj pre X a dostanete rovnakú odpoveď).
   • The - y " prvej rovnice by sa malo vylúčiť pomocou + 2r V druhej rovnici. Môžeme to urobiť - r vynásobiť 2.
   • Vynásobíme obe strany prvej rovnice o 2 nasledovne: 2 (3x - r) = 2 (3), a teda 6x - 2r = 6. Teraz bude - 2r odpadnúť proti + 2r v druhej rovnici.
3. Spojte dve rovnice. Ak chcete kombinovať dve rovnice, spojte ľavú a pravú stranu. Ak ste rovnicu napísali správne, jedna z premenných by sa mala zrušiť proti druhej. Tu je príklad použitia rovnakých rovníc ako v poslednom kroku:
   • Vaše rovnice sú: 6x - 2r = 6 a -x + 2r = 4.
   • Skombinujte ľavú stranu: 6x - 2r - x + 2r =?
   • Kombinujte pravé strany: 6x - 2r - x + 2r = 6 + 4.
4. Vyriešte poslednú premennú. Zjednodušte kombinovanú rovnicu a potom použite základnú algebru na riešenie poslednej premennej. Ak po zjednodušení nezostanú žiadne premenné, pokračujte k poslednému kroku v tejto časti. V opačnom prípade by ste mali skončiť jednoduchou odpoveďou na jednu z vašich premenných. Napríklad:
   • Máš: 6x - 2r - x + 2r = 6 + 4.
   • Zoskupte premenné X a r spolu: 6x - x - 2r + 2r = 6 + 4.
   • Zjednodušiť: 5x = 10
   • Vyriešiť pre x: (5x) / 5 = 10/5, aby tak x = 2.
5. Vyriešte ostatné premenné. Našli ste jednu premennú, ale ešte nie ste úplne hotoví. Nahraďte svoju odpoveď jednou z pôvodných rovníc, aby ste mohli vyriešiť druhú premennú. Napríklad:
   • Vieš to x = 2a jednu z vašich pôvodných rovníc 3x - y = 3 je.
   • Pripojte 2, namiesto x: 3 (2) - y = 3.
   • Vyriešte y v rovnici: 6 - y = 3
   • 6 - r + r = 3 + r, tak 6 = 3 + r
   • 3 = r
6. Vedieť, čo robiť, keď sa obe premenné navzájom rušia. Výsledkom spojenia dvoch rovníc je niekedy rovnica, ktorá nemá žiadny význam alebo vám nepomôže vyriešiť problém. Od začiatku si prácu dôkladne skontrolujte, ale ak ste neurobili chybu, zapíšte si jednu z nasledujúcich odpovedí:
   • Ak vaša kombinovaná rovnica nemá žiadne premenné a nie je pravdivá (napríklad 2 = 7), potom existuje žiadne riešenie ktorý platí pre obe rovnice. (Ak nakreslíte obe rovnice v grafe, uvidíte, že sú rovnobežné a nikdy sa nepretínajú).
   • Ak vaša kombinovaná rovnica nemá žiadne premenné a je pravdivá (napríklad 0 = 0), potom existujú nekonečné množstvo riešení. Tieto dve rovnice sú v skutočnosti identické. (Ak ich umiestnite do grafu, uvidíte, že sa navzájom úplne prekrývajú).

Metóda 3 z 3: Vytvorte graf rovníc

1. Túto metódu používajte, iba ak je to určené. Pokiaľ nepoužívate počítač alebo grafickú kalkulačku, pomocou tejto metódy je možné vyriešiť veľa sústav rovníc iba približne. Váš učiteľ alebo učebnica matematiky vás môžu požiadať o použitie tejto metódy, takže pravdepodobne poznáte grafické rovnice, napríklad čiary. Touto metódou môžete tiež skontrolovať, či sú vaše odpovede z ktorejkoľvek z ďalších metód správne.
   • Základnou myšlienkou je, že obe rovnice zakreslíme do grafu a určíme bod, kde sa pretínajú. Hodnoty xay v tomto bode dávajú hodnotu xa hodnotu y v sústave rovníc.
2. Vyriešte obe rovnice pre y. Ponechajte dve rovnice oddelené a pomocou algebry preveďte každú rovnicu do tvaru „y = __x + __“. Napríklad:
   • Prvá rovnica je: 2x + y = 5. Zmeniť na: y = -2x + 5.
   • Druhá rovnica je: -3x + 6r = 0. Zmeňte to na 6r = 3x + 0a zjednodušiť na y = ½x + 0.
   • Sú obe rovnice identické, potom sa celá čiara stane „priesečníkom“. Napíš: nekonečné riešenia.
3. Nakreslite súradnicový systém. Na list milimetrového papiera nakreslite zvislú „os y“ a vodorovnú „os x“. Začnite v bode, kde sa čiary pretínajú, a označte čísla 1, 2, 3, 4 atď. Hore osou y a opäť doprava pozdĺž osi x. Označte čísla -1, -2 atď. Pozdĺž osi y nadol a doľava pozdĺž osi x.
   • Ak nemáte milimetrový papier, pomocou pravítka skontrolujte, či sú čísla rovnomerne rozmiestnené.
   • Ak používate veľké množstvo alebo desatinné miesta, bude pravdepodobne potrebné zmeniť mierku grafu. (Napríklad 10, 20, 30 alebo 0,1, 0,2, 0,3 namiesto 1, 2, 3).
4. Pre každý riadok nakreslite priesečník y. Len čo budete mať vo formulári rovnicu y = __x + __ môžete ho začať grafovať tak, že nastavíte bod, kde čiara pretína os y. Toto je vždy na hodnote y, ktorá sa rovná poslednému číslu v tejto rovnici.
   • Vo vyššie spomenutých príkladoch jeden riadok (y = -2x + 5) do osi y 5. Druhý riadok (y = ½x + 0) prechádza nulovým bodom 0. (Toto sú body (0,5) a (0,0) v grafe).
   • Ak je to možné, uveďte každý z riadkov inou farbou.
5. Pomocou svahu pokračujte v kreslení čiar. Vo forme y = __x + __, je číslo pre x-té sklon mimo linky. Zakaždým, keď sa x zvýši o jednu, hodnota y sa zvýši s hodnotou sklonu. Tieto informácie slúžia na vyhľadanie bodu v grafe pre každú priamku, keď x = 1. (Alternatívne nahraďte x = 1 pre každú rovnicu a riešte y).
   • V našom príklade má riadok y = -2x + 5 sklon -2. Pri x = 1 riadok 2 klesá dole od bodu x = 0. Nakreslite úsečku medzi bodmi (0,5) a (1,3).
   • Pravidlo y = ½x + 0má sklon ½. Pri x = 1 bude čiara ½ hore od bodu x = 0. Nakreslite úsečku medzi (0,0) a (1, ½).
   • Keď majú čiary rovnaký sklon čiary sa nikdy nebudú pretínať, takže pre sústavu rovníc neexistuje riešenie. Napíš: žiadne riešenie.
6. Pokračujte v vykresľovaní čiar, až kým sa nepretínajú. Zastavte sa a pozrite sa na svoj graf. Ak sa riadky už navzájom krížili, prejdite na ďalší krok. V opačnom prípade sa rozhodujete na základe toho, čo riadky robia:
   • Keď sa čiary pohybujú smerom k sebe, stále kreslíte body týmto smerom.
   • Ak sa čiary vzďaľujú od seba, vráťte sa späť a kreslite body opačným smerom, počnúc od x = -1.
   • Ak čiary nie sú nikde blízko seba, skočte dopredu a vykreslite ďalšie body, napríklad x = 10.
7. Odpoveď hľadajte na priesečníku riadkov. Len čo sa tieto dve priamky pretnú, riešením sú problém hodnoty xay v danom bode. Ak budete mať šťastie, odpoveď bude celé číslo. Napríklad v našich príkladoch sa tieto dve čiary pretínajú (2,1) taká je aj vaša odpoveď x = 2 a y = 1. V niektorých systémoch rovníc sa priamky pretínajú na hodnote medzi dvoma celými číslami a pokiaľ váš graf nie je mimoriadne presný, bude ťažké zistiť, kde to je. V takom prípade môžete odpovedať napríklad takto: „x je medzi 1 a 2“. Presnú odpoveď môžete nájsť aj pomocou substitučnej alebo eliminačnej metódy.

Tipy

• Svoju prácu môžete skontrolovať zadaním odpovedí späť do pôvodných rovníc. Ak sú rovnice pravdivé (napríklad 3 = 3), potom je vaša odpoveď správna.
• Pri metóde eliminácie musíte niekedy vynásobiť rovnicu záporným číslom, aby ste vylúčili premennú.

Varovania

• Tieto metódy nemožno použiť, ak máte do činenia s mocninovým číslom, napríklad x. Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o rovniciach tohto typu, budete potrebovať sprievodcu faktorovým štvorcom s dvoma premennými.