Obsah

• Na krok
• Tipy

Ako graf vidieť kvadratickú rovnicu sekera + bx + c , tiež ktorý je napísaný ako a (x - h) + k, vyzerajú ako hladká krivka v tvare písmena U. Voláme tento parabola. Vytvorenie grafu kvadratickej rovnice zahŕňa nájdenie vrcholu, smeru a často priesečníkov s osami x a y. V prípade relatívne jednoduchej kvadratickej rovnice môže byť tiež postačujúce zadať počet hodnôt pre x, ktoré označia tieto body v súradnicovom systéme, po ktorom je možné nakresliť parabolu. Pokračujte krokom 1, aby ste mohli začať.

Na krok

1. Určte, aký druh rovnice druhého stupňa máte. Môže sa písať dvoma spôsobmi: štandardnou notáciou a vrcholovou notáciou (iný spôsob zápisu druhej odmocniny). Na vytvorenie grafu kvadratickej rovnice môžete použiť obe, ale postup je v každom prípade mierne odlišný. Väčšinou sa stretnete so štandardným tvarom, ale určite nezaškodí naučiť sa používať oba tvary. Dve formy kvadratickej rovnice sú:
   • Štandardný tvar. Kvadratická rovnica sa označuje ako: f (x) = ax + bx + c, kde a, b a c sú skutočné čísla a a sa nerovná nule.
     • Dva príklady štandardných kvadratických rovníc: f (x) = x + 2x + 1 af (x) = 9x + 10x -8.
   • Vrcholový tvar. Kvadratická rovnica sa označuje ako: f (x) = a (x - h) + k, kde a, h a k sú reálne čísla a a sa nerovná nule. Tento tvar sa nazýva vrchol, pretože h a k odkazujú priamo na vrchol vašej paraboly v bode (h, k).
     • Dva príklady rovníc vrcholového tvaru sú f (x) = 9 (x - 4) + 18 a -3 (x - 5) + 1
   • Aby sme vytvorili graf z týchto rovníc, najskôr určíme hornú časť (h, k) grafu. V štandardnej rovnici to nájdete pomocou: h = -b / 2a a k = f (h), zatiaľ čo toto je už dané vo vrcholnej podobe, pretože h a k sa vyskytujú v rovnici.
2. Určte svoje premenné. Na vyriešenie kvadratickej rovnice je zvyčajne potrebné určiť premenné a, b a c (alebo a, h a k). Pravidelným cvičením získate rovnicu druhého stupňa v štandardnej podobe, ale môže sa vyskytnúť aj vrcholová notácia.
   • Napríklad: štandardná funkcia f (x) = 2x + 16x + 39. Tu máme a = 2, b = 16 a c = 39.
   • Vo vrcholovom zápise: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Tu máme a = 4, h = 5 a k = 12.
3. Vypočítajte h. Vo vrcholovom zápise je už uvedená hodnota h, ale v štandardnom zápise musí byť táto hodnota ešte vypočítaná. Pamätajte, že so štandardnou rovnicou platí: h = -b / 2a.
   • Príklad 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Vyriešením tohto problému vidíme, že h = -4.
   • Príklad 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), okamžite vidíme, že h = 5.
4. Vypočítajte k. Rovnako ako v prípade h, k je už známe z rovníc vrcholných tvarov. Pre rovnice v štandardnom zápise nezabudnite, že k = f (h). Inými slovami môžete nájsť k nahradením ľubovoľnej premennej x hodnotou h.
   • Videli sme napríklad 1, že h = -4. Aby sme našli k, vyriešime túto rovnicu vyplnením tejto hodnoty h v rovnici pre premennú x:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Z príkladu 2 vieme, že hodnota k sa rovná 12 bez potreby akýchkoľvek výpočtov.
5. Nakreslite hornú alebo dolnú časť grafu. Vrchol alebo údolie vašej paraboly je bod (h, k) - h znamená súradnicu x a k znamená súradnicu y. Vrchol je stredom vašej paraboly - najvyšší alebo najnižší bod, vrchol alebo údolie, grafu vo forme písmena „U“ alebo naopak.Schopnosť určiť vrchol paraboly je nevyhnutnou súčasťou nakreslenia správneho grafu - určenie vrcholu paraboly je často súčasťou matematického problému v škole.
   • V príklade 1 je horná časť grafu (-4,7). Nakreslite bod do grafu a nezabudnite správne pomenovať súradnice.
   • V príklade 2 je horná časť (5,12). Takže od bodu (0,0) pôjdete 5 miest doprava a potom hore 12.
6. Ak je to potrebné, nakreslite os symetrie paraboly. Os súmernosti paraboly je priamka, ktorá pretína obrazec v strede a delí ho presne na polovicu. Jedna strana grafu sa zrkadlí pozdĺž tejto čiary na druhej strane grafu. V kvadratických rovniciach buď ax + bx + c alebo a (x - h) + k je táto os priamkou rovnobežnou s osou y prechádzajúcou vrcholom paraboly.
   • V prípade príkladu 1 je osou symetrie čiara rovnobežná s osou y a prechádza bodom (-4,7). Aj keď to nie je súčasťou samotnej paraboly, ľahké zvýraznenie tohto pokynu vám môže ukázať, aká symetrická je krivka paraboly.
7. Určte smer paraboly. Potom, čo ste zistili, čo je vrchol paraboly, je potrebné vedieť, či máte do činenia s horou alebo dolinou paraboly, teda či je otvor dole alebo na vrchu. Našťastie je to veľmi ľahké. Ak je „a“ kladné, máte na mysli parabolu v údolí; ak je „a“ záporné, jedná sa o horskú parabolu (s otvorom dole)
   • V príklade 1 máme do činenia s funkciou (f (x) = 2x + 16x + 39), ide teda o údolnú parabolu, pretože a = 2 (kladné).
   • V príklade 2 máme do činenia s funkciou f (x) = 4 (x - 5) + 12) a toto je tiež údolná parabola, pretože a = 4 (kladné).
8. Ak je to potrebné, určte priesečníky paraboly. Často, keď sa od matematického problému požaduje, aby dal priesečníky paraboly s osou x (tieto sú „nulové“, a alebo dva body, kde parabola pretína alebo zasahuje os x). Aj keď sa to nevyžaduje, tieto body sú veľmi dôležité pre to, aby bolo možné nakresliť presný graf. Ale nie všetky paraboly majú priesečník s osou x. Ak máte do činenia s údolnou parabolou a bod údolia je nad osou x, alebo v prípade horskej paraboly tesne pod osou x, potom jednoducho nenájdete žiadne priesečníky. Ak je to tak, použite jednu z nasledujúcich metód:
   • Určte, že f (x) = 0 a vyriešte rovnicu. Táto metóda môže fungovať pre jednoduché kvadratické rovnice, najmä vo vrcholnej forme, ale zistíte, že to bude čoraz zložitejšie, pretože funkcie budú zložitejšie. Ďalej uvádzam niekoľko príkladov.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 a 13 sú priesečníky s osou x paraboly.
   • Faktor rovnicu. Niektoré rovnice v tvare ax + bx + c možno ľahko prepísať na (dx + e) ​​(fx + g), kde dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx a e × g = c. V tomto prípade sú križovatkami x hodnoty x, kde sa každý výraz v zátvorke rovná 0. Napríklad:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • V tomto prípade je priesečník -1, pretože pri zadaní v obidvoch faktoroch sa získa nula.
   • Použite vzorec abc. Ak nie je ľahké zistiť križovatky alebo faktorizovať rovnicu, použite na tento účel osobitne „vzorec abc“. Predpokladajme rovnicu v tvare ax + bx + c. Potom zadajte hodnoty a, bac vo vzorci x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a. Toto často dáva dve odpovede za x, čo je v poriadku - to znamená, že vaša parabola má dva priesečníky s osou x. Tu je príklad:
     • Do rovnice zadajte -5x + 1x + 10 nasledujúcim spôsobom:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) a (-15,18 / -10). Priesečníky paraboly s osou x sú približne x = -1,318 a 1,518
     • Rovnako ako v príklade 1 s rovnicou 2x + 16x + 39 bude vyzerať takto:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Pretože nie je možné nájsť druhú odmocninu záporného čísla, vieme, že pre túto konkrétnu parabolu neexistujú žiadne priesečníky s osou x.
9. Ak je to potrebné, určte priesečník paraboly s osou y. Často nie je potrebné, ale niekedy potrebné nájsť túto križovatku, napríklad pre matematický problém. Je to celkom jednoduché - nastavte hodnotu x na 0 a vyriešte rovnicu pre f (x) alebo y, ktorá vám poskytne hodnotu y bodu, kde sa parabola pretína s osou y. Rozdiel od priesečníkov cez os x je v tom, že na osi y je vždy iba jeden priesečník. Poznámka - pri štandardných rovniciach je priesečník s osou y v bode y = c.
   • Napríklad vieme, že naša kvadratická rovnica 2x + 16x + 39 má priesečník y = 39, ale môžeme ju nájsť aj takto:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Priesečník paraboly s osou y: y = 39. Ako je uvedené vyššie, môžeme ľahko prečítať priesečník, pretože y = c.
   • Rovnica 4 (x - 5) + 12 má priesečník s osou y, ktorý možno nájsť takto:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. Priesečník s osou y: y = 112.
10. Ak si myslíte, že je to potrebné, nakreslite najskôr body navyše a potom celý graf. Teraz by ste mali mať vrchol alebo údolie, smer, priesečníky s osou x a prípadne s osou y vašej rovnice. Od tohto bodu sa môžete pokúsiť nakresliť parabolu pomocou týchto bodov alebo sa môžete pokúsiť nájsť viac bodov, aby bol graf presnejší. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je jednoducho zadať počet hodnôt x, ktoré vrátia počet hodnôt y. Predtým, ako budete môcť začať kresliť parabolu, vás (učiteľ) požiada, aby ste vypočítali počet bodov.
    • Pozrime sa ešte raz na rovnicu x + 2x + 1. Už vieme, že jediný priesečník s osou x je (-1,0). Pretože sa dotýka iba osi x v tomto bode, môžeme odvodiť, že horná časť grafu sa rovná tomuto bodu. Zatiaľ máme iba jeden bod tejto paraboly - nie je to dosť na to, aby sme nakreslili graf. Nájdeme ešte niekoľko bodov, aby sme sa uistili, že máme viac hodnôt.
      • Pokúsme sa nájsť hodnoty y, ktoré zodpovedajú nasledujúcim hodnotám x: 0, 1, -2 a -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Potom bod (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Potom bod (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Potom bod (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Potom bod (-3,4).
      • Umiestnite tieto body do grafu a nakreslite svoju parabolu. Upozorňujeme, že parabola je úplne symetrická - ak poznáte body na jednej strane grafu, zvyčajne si môžete ušetriť veľa práce tým, že pomocou týchto bodov nájdete body na druhej strane osi symetrie.

Tipy

• Ak je to potrebné, zaokrúhlite čísla alebo použite zlomky. To môže pomôcť pri správnom zobrazení grafu.
• Upozorňujeme, že ak sa pre funkciu f (x) = ax + bx + c, b alebo c rovnajú nule, tieto členy zmiznú. Napríklad 12x + 0x + 6 sa stane rovným 12x + 6, pretože 0x sa rovná 0.