Ako rozdeliť matice

Video: Jak na dokonalý betonový základ pro stavbu plotu

Obsah

Krátke zhrnutie
Kroky
Časť 1 z 3: Testovanie deliteľnosti matíc
Časť 2 z 3: Hľadanie inverznej matice
Časť 3 z 3: Násobenie matice
Tipy
Varovania
Doplňujúce články

Ak viete, ako vynásobiť dve matice, môžete začať „rozdeľovať“ matice. Slovo „divízia“ je uzavreté v úvodzovkách, pretože matice nemožno v skutočnosti deliť. Operácia delenia je nahradená operáciou vynásobenia jednej matice maticou, ktorá je inverznou druhej matice. Pre jednoduchosť zvážte príklad s celými číslami: 10 ÷ 5. Nájdite prevratné číslo 5: 5 alebo /₅, a potom nahraďte delenie násobením: 10 x 5; výsledok delenia a násobenia bude rovnaký. Preto sa verí, že delenie môže byť nahradené vynásobením inverznej matice. Takéto výpočty sa zvyčajne používajú na riešenie systémov lineárnych rovníc.

Krátke zhrnutie

Matice nemôžete deliť. Namiesto delenia je jedna matica vynásobená inverznou hodnotou druhej matice. „Delenie“ dvoch matíc [A] ÷ [B] sa píše takto: [A] * [B] alebo [B] * [A].
Ak matica [B] nie je štvorcová alebo ak je jej determinantom 0, napíšte „žiadne jednoznačné riešenie“. V opačnom prípade nájdite determinant matice [B] a prejdite na ďalší krok.
Nájdite inverznú hodnotu: [B].
Vynásobením matíc nájdete [A] * [B] alebo [B] * [A]. Majte na pamäti, že poradie, v ktorom sú matice vynásobené, ovplyvňuje konečný výsledok (to znamená, že výsledky sa môžu líšiť).

Kroky

Časť 1 z 3: Testovanie deliteľnosti matíc

1 Pochopte „rozdelenie“ matíc. V skutočnosti matice nemožno rozdeliť. Neexistuje žiadna taká matematická operácia ako „delenie jednej matice druhou“. Delenie je nahradené vynásobením jednej matice inverznou druhou maticou. To znamená, že zápis [A] ÷ [B] nie je správny, preto je nahradený nasledujúcim zápisom: [A] * [B]. Pretože oba záznamy sú v prípade skalárnych hodnôt ekvivalentné, teoreticky môžeme hovoriť o „delení“ matíc, ale stále je lepšie použiť správnu terminológiu.
- Všimnite si toho, že [A] * [B] a [B] * [A] sú rôzne operácie. Na nájdenie všetkých možných riešení môže byť potrebné vykonať obe operácie.
- Napríklad namiesto ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ zapísať ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * * begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Možno budete musieť počítať ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ získať iný výsledok.
2 Uistite sa, že matica, ktorou „delíte“ druhú maticu, je štvorcová. Ak chcete obrátiť maticu (nájsť inverznú hodnotu matice), musí byť štvorcová, to znamená s rovnakým počtom riadkov a stĺpcov. Ak obrátená matica nie je inverzná, neexistuje jednoznačné riešenie.
- Matice tu opäť nie sú „deliteľné“. Pri prevádzke [A] * [B] sa opísaný stav týka matice [B]. V našom prípade sa táto podmienka týka matice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Matica, ktorá môže byť obrátená, sa nazýva nedegenerovaná alebo pravidelná. Matica, ktorú nemožno prevrátiť, sa nazýva degenerovaná alebo singulárna.
3 Skontrolujte, či je možné tieto dve matice vynásobiť. Na vynásobenie dvoch matíc musí byť počet stĺpcov v prvej matici rovný počtu riadkov v druhej matici. Ak táto podmienka nie je splnená v položke [A] * [B] alebo [B] * [A], neexistuje riešenie.
- Ak je napríklad veľkosť matice [A] 4 x 3 a veľkosť matice [B] je 2 x 2, neexistuje riešenie. Nemôžete vynásobiť [A] * [B], pretože 4 ≠ 2, a nemôžete vynásobiť [B] * [A], pretože 2 ≠ 3.
- Všimnite si toho, že inverzná matica [B] má vždy rovnaký počet riadkov a stĺpcov ako pôvodná matica [B]. Na kontrolu, či je možné vynásobiť dve matice, nie je potrebné nájsť inverznú maticu.
- V našom prípade je veľkosť oboch matíc 2 x 2, takže ich možno vynásobiť v ľubovoľnom poradí.
4 Nájdite determinant matice 2 × 2. Pamätajte si: maticu môžete prevrátiť iba vtedy, ak jej determinant nie je nulový (v opačnom prípade nemôžete obrátiť maticu). Tu je postup, ako nájsť determinant matice 2 x 2:
- Matica 2 x 2: determinant matice ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ sa rovná ad - bc. To znamená, že z produktu prvkov hlavnej uhlopriečky (prechádza ľavým horným a pravým dolným rohom) odčítajte produkty prvkov druhej uhlopriečky (prechádza pravým horným a dolným ľavým rohom).
- Napríklad determinant matice ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ sa rovná (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Determinant je nenulový, takže túto maticu je možné prevrátiť.
5 Nájdite determinant väčšej matice. Ak je veľkosť matice 3 x 3 alebo viac, je určovanie determinantu o niečo ťažšie.
- Matica 3 x 3: vyberte ľubovoľnú položku a prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa nachádza.Nájdite determinant výslednej matice 2 × 2 a potom ho vynásobte vybraným prvkom; zadajte znak determinantu do špeciálnej tabuľky. Tento postup zopakujte pre ďalšie dve položky, ktoré sú v rovnakom riadku alebo stĺpci ako položka, ktorú ste vybrali. Potom nájdite súčet prijatých (troch) determinantov. V tomto článku nájdete ďalšie informácie o tom, ako nájsť determinant matice 3 x 3.
- Veľké matrice: determinant takýchto matíc je najlepšie nájsť pomocou grafickej kalkulačky alebo softvéru. Metóda je podobná metóde na nájdenie determinantu matice 3 × 3, je však dosť únavné ju používať ručne. Ak napríklad chcete nájsť determinant matice 4 x 4, musíte nájsť determinanty štyroch matíc 3 x 3.
6 Pokračujte vo výpočtoch. Ak matica nie je štvorcová alebo ak sa jej determinant rovná nule, napíšte „žiadne jednoznačné riešenie“, to znamená, že proces výpočtu je dokončený. Ak je matica štvorcová a má nenulový determinant, preskočte na nasledujúcu časť.

Časť 2 z 3: Hľadanie inverznej matice

1 Vymeňte prvky hlavnej uhlopriečky matice 2 x 2. Vzhľadom na maticu 2 × 2 použite rýchlu inverznú metódu. Najprv vymeňte prvok vľavo hore a vpravo dole. Napríklad:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Poznámka: väčšina ľudí používa kalkulačky na invertovanie matice 3 x 3 (alebo väčšej). Ak to potrebujete urobiť ručne, prejdite na koniec tejto sekcie.
2 Vymeňte zvyšné dva prvky, ale zmeňte ich znamienko. To znamená, že prvok vpravo hore a prvok vľavo dole vynásobte -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Nájdite prevratnosť determinantu. Determinant tejto matice bol nájdený v predchádzajúcej časti, preto ju nebudeme znova počítať. Inverzná hodnota determinantu sa napíše takto: 1 / (determinant):
- V našom prípade je determinant 13. Opačná hodnota: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Výslednú maticu vynásobte prevrátenou hodnotou determinantu. Vynásobte každý prvok novej matice inverznou hodnotou determinantu. Konečná matica bude inverzná k pôvodnej matici 2 x 2:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Skontrolujte, či sú výpočty správne. Za týmto účelom vynásobte pôvodnú maticu jej inverznou hodnotou. Ak sú výpočty správne, súčin pôvodnej matice inverznou metódou poskytne maticu identity: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Ak bol test úspešný, pokračujte ďalšou časťou.
- V našom prípade: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Ďalšie informácie o násobení matíc nájdete v tomto článku.
- Poznámka: operácia násobenia matíc nie je komutatívna, to znamená, že poradie matíc je dôležité. Ale keď je pôvodná matica vynásobená jej inverznou hodnotou, akýkoľvek poriadok vedie k matici identity.
6 Nájdite inverznú hodnotu k matici 3 x 3 (alebo väčšie). Ak ste už s týmto procesom oboznámení, je lepšie použiť grafickú kalkulačku alebo špeciálny softvér. Ak potrebujete nájsť inverznú maticu ručne, postup je stručne popísaný nižšie:
- Pripojte sa k matici identity I na pravej strane pôvodnej matice. Napríklad [B] → [B | Ja]. V prípade matice identity sa všetky prvky hlavnej uhlopriečky rovnajú 1 a všetky ostatné prvky sa rovnajú 0.
- Zjednodušte maticu tak, aby sa jej ľavá strana stupňovala; pokračovať v zjednodušovaní, aby sa ľavá strana stala maticou identity.
- Po zjednodušení bude matica mať nasledujúcu formu: [I | B]. To znamená, že jeho pravá strana je inverznou k pôvodnej matici.

Časť 3 z 3: Násobenie matice

1 Napíšte dva možné výrazy. Operácia vynásobenia dvoch skalárov je komutatívna, to znamená 2 x 6 = 6 x 2.V prípade násobenia matice to tak nie je, takže možno budete musieť vyriešiť dva výrazy:
- X = [A] * [B] je riešením rovnice X[B] = [A].
- X = [B] * [A] je riešením pre rovnicu [B]X = [A].
- Vykonajte každú matematickú operáciu na oboch stranách rovnice. Ak [A] = [C], potom [B] [A] ≠ [C] [B], pretože [B] je vľavo od [A], ale napravo od [C].
2 Určte veľkosť konečnej matice. Veľkosť konečnej matice závisí od veľkosti násobených matíc. Počet riadkov v konečnej matici sa rovná počtu riadkov v prvej matici a počet stĺpcov v konečnej matici sa rovná počtu stĺpcov v druhej matici.
- V našom prípade veľkosť oboch matíc ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ a ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ je 2 x 2, takže veľkosť pôvodnej matice bude 2 x 2.
- Zoberme si komplexnejší príklad: ak je veľkosť matice [A] 4 x 3, a veľkosť matice [B] je 3 x 3, potom bude konečná matica [A] * [B] 4 x 3.
3 Nájdite hodnotu prvého prvku. Prečítajte si tento článok alebo si zapamätajte nasledujúce základné kroky:
- Ak chcete nájsť prvý prvok (prvý riadok, prvý stĺpec) konečnej matice [A] [B], vypočítajte bodový súčin prvkov prvého radu matice [A] a prvkov prvého stĺpca matice [B] ]. V prípade matice 2 x 2 sa bodový súčin vypočíta takto: ${ Displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- V našom prípade: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Prvým prvkom konečnej matice bude teda prvok:
  ${ Displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Pokračujte vo výpočte bodových produktov a nájdite každý prvok konečnej matice. Napríklad prvok umiestnený v druhom riadku a prvom stĺpci sa rovná bodkovému súčinu druhého radu matice [A] a prvého stĺpca matice [B]. Pokúste sa nájsť zostávajúce položky sami. Mali by ste získať nasledujúce výsledky:
- ${ Displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Ak potrebujete nájsť iné riešenie: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 end {pmatrix}}}$

Tipy

Maticu je možné rozdeliť na skalárne; za týmto účelom je každý prvok matice rozdelený skalárnym.
- Napríklad, ak matica ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ delené 2, získate maticu ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Varovania

Kalkulačka nie vždy poskytuje úplne presné výsledky, pokiaľ ide o maticové výpočty. Ak napríklad kalkulačka tvrdí, že položka je veľmi malé číslo (napríklad 2E), hodnota je s najväčšou pravdepodobnosťou nulová.