Ako urobiť matematický dôkaz

Video: 🌹Вяжем красивую летнюю женскую кофточку со спущенным рукавом из хлопковой пряжи спицами. Часть 1.

Obsah

Kroky
Metóda 1 z 3: Pochopte vyhlásenie o probléme
Metóda 2 z 3: Sformulujte dôkaz
Metóda 3 z 3: Zapíšte si dôkazy
Tipy

Nájdenie matematického dôkazu môže byť skľučujúca úloha, ale znalosť matematiky a napísanie dôkazu vám pomôžu. Bohužiaľ neexistujú žiadne rýchle a jednoduché metódy, ako sa naučiť riešiť matematické problémy. Je potrebné predmet poriadne preštudovať a zapamätať si základné vety a definície, ktoré vám budú užitočné pri dokazovaní konkrétneho matematického postulátu. Študujte príklady matematických dôkazov a cvičte sa, aby ste si pomohli zlepšiť svoje schopnosti.

Kroky

Metóda 1 z 3: Pochopte vyhlásenie o probléme

1 Určte, čo chcete nájsť. Prvým krokom je zistiť, čo presne je potrebné dokázať. Okrem iného to bude určovať posledné tvrdenie vo vašom doklade. V tejto fáze by ste mali urobiť aj určité predpoklady, v rámci ktorých budete pracovať. Ak chcete lepšie porozumieť problému a začať ho riešiť, zistite, čo musíte dokázať, a urobte si potrebné predpoklady.
2 Nakreslite kresbu. Pri riešení matematických úloh je niekedy užitočné ich zobrazenie vo forme obrázku alebo diagramu. Toto je obzvlášť dôležité v prípade geometrických problémov - kresba pomáha vizualizovať stav a výrazne uľahčuje hľadanie riešenia.
- Pri vytváraní obrázka alebo diagramu použite údaje uvedené v podmienke. Označte známe a neznáme množstvá na obrázku.
- Kresba vám uľahčí hľadanie dôkazov.
3 Študujte dôkazy o podobných vetách. Ak nemôžete ihneď nájsť riešenie, nájdite podobné vety a zistite, ako sú dokázané.
- Každý krok dôkazu musíte zdôvodniť. Pozrite sa, ako sa rôzne vety dokazujú na internete alebo v učebniciach matematiky.
4 Klásť otázky. Je v poriadku, ak sa vám nepodarí ihneď nájsť dôkaz.Ak vám niečo nie je jasné, opýtajte sa na to svojho učiteľa alebo spolužiakov. Možno majú vaši kamaráti rovnaké otázky a môžete ich spoločne vyriešiť. Je lepšie položiť si pár otázok, než sa pokúšať neúspešne hľadať dôkazy znova a znova.
- Po vyučovaní choďte k učiteľovi a zistite nejasné otázky.

Metóda 2 z 3: Sformulujte dôkaz

1 Sformulujte matematický dôkaz. Matematický dôkaz je postupnosť tvrdení podložených vetami a definíciami, ktorá dokazuje matematický postulát. Dôkazy sú jediným spôsobom, ako zistiť, či je výrok matematicky správny.
- Schopnosť zapisovať matematické dôkazy svedčí o hlbokom porozumení problému a zvládnutí potrebných nástrojov (lemmy, vety a definície).
- Rigorózny dôkaz vám môže pomôcť znova sa pozrieť na matematiku a získať pocit, že ju fascinuje. Skúste si dokázať tvrdenie, aby ste získali predstavu o matematických metódach.
2 Berte ohľad na svoje publikum. Predtým, ako začnete zaznamenávať dôkazy, mali by ste sa zamyslieť nad tým, pre koho sú určené a vziať do úvahy úroveň znalostí týchto ľudí. Ak si napíšete dôkazy o ďalšej publikácii vo vedeckom časopise, bude sa líšiť od toho, keď robíte školskú úlohu.
- Vedieť o svojej cieľovej skupine vám umožní zapísať si dôkazy a zároveň vycvičiť svojich čitateľov, aby im rozumeli.
3 Určite typ dôkazu. Existuje niekoľko typov matematických dôkazov a výber konkrétnej formy závisí od cieľového publika a riešeného problému. Ak si nie ste istí, ktorý druh si vybrať, overte si to u svojho učiteľa. Na strednej škole je potrebný dvojstĺpcový dôkaz.
- Pri písaní dôkazov do dvoch stĺpcov jeden zaznamenáva počiatočné údaje a vyhlásenia a druhý - zodpovedajúci dôkaz týchto vyhlásení. Táto forma zápisu sa často používa pri riešení geometrických úloh.
- V menej formálnom spôsobe písania dôkazov sa používajú gramaticky správne konštrukcie a menej symbolov. Na vyšších úrovniach by sa mal používať tento zápis.
4 Načrtnite dôkaz v dvoch stĺpcoch. Táto forma pomáha organizovať myšlienky a dôsledne riešiť problém. Stranu rozdeľte na polovicu pomocou zvislej čiary a na ľavú stranu napíšte svoje pôvodné údaje a výroky, ktoré z nej vyplývajú. Zapíšte si zodpovedajúce definície a vety na pravú stranu každého tvrdenia.
- Napríklad:
- rohy A a B sú priľahlé - dané;
- uhol ABC je sploštený - definuje sploštený roh;
- uhol ABC je 180 ° - definuje priamku;
- uhol A + uhol B = uhol ABC - pravidlo pre sčítanie uhlov;
- uhol A + uhol B = 180 ° - substitúcia;
- uhol A je komplementárny k uhlu B - definícia ďalších uhlov;
- Q.E.D.
5 Zapíšte si dvojstĺpcový dôkaz ako neformálny dôkaz. Ako základ použite dvojstĺpcový záznam a dôkaz napíšte v kratšej forme s menším počtom symbolov a skratiek.
- Napríklad: Predpokladajme, že rohy A a B susedia. Podľa hypotézy sa tieto uhly navzájom dopĺňajú. Keď susedia, uhol A a uhol B tvoria priamku. Ak strany rohu tvoria priamku, uhol je 180 °. Pridajte uhly A a B a vytvorte priamku ABC. Súčet uhlov A a B je teda 180 °, to znamená, že tieto uhly sú komplementárne. Q.E.D.

Metóda 3 z 3: Zapíšte si dôkazy

1 Naučte sa jazyk dôkazov. Na písanie matematických dôkazov sa používajú štandardné vyhlásenia a frázy. Tieto frázy sa musíte naučiť a vedieť ich používať.
- Fráza „Ak A, potom B“ znamená, že ak je tvrdenie A pravdivé, potom musí byť pravdivé aj tvrdenie B.
- „A vtedy a len vtedy, ak B“ znamená, že tvrdenia A a B sú súčasne pravdivé alebo nepravdivé. Táto konštrukcia je ekvivalentná dvom simultánnym tvrdeniam: „Ak A, potom B“ a „Ak A zlyhá, B neplatí“.
- „A iba vtedy, ak B“ je ekvivalentné k „ak B, potom A“, takže táto konštrukcia nie je bežná. Napriek tomu je potrebné na to pamätať.
- Pri zaznamenávaní dôkazov sa snažte použiť „my“ namiesto osobného zámena „ja“.
2 Zapíšte si všetky pôvodné údaje. Pri zostavovaní dôkazu je potrebné najskôr definovať a napísať všetko, čo je v probléme uvedené. V takom prípade budete mať pred očami všetky počiatočné údaje, na základe ktorých je potrebné získať rozhodnutie. Pozorne si prečítajte vyhlásenie o probléme a zapíšte si všetko, čo je v ňom uvedené.
- Napríklad: dokážte, že sa dva susedné uhly (uhol A a uhol B) navzájom dopĺňajú.
- Vzhľadom na to: susedné rohy A a B.
- Dokážte: uhol A je komplementárny k uhlu B.
3 Definujte všetky premenné. Okrem zaznamenávania pôvodných údajov je tiež užitočné zapísať ostatné premenné. Aby ste to čitateľovi uľahčili, napíšte si premenné na úplný začiatok dôkazu. Ak nie sú definované žiadne premenné, čitateľ môže byť zmätený a nerozumie vášmu dôkazu.
- Počas kontroly nepoužívajte predtým nedefinované premenné.
- Napríklad: vo vyššie uvedenom probléme sú premennými hodnoty uhlov A a B.
4 Skúste nájsť dôkaz v opačnom poradí. Mnoho problémov je jednoduchšie vyriešiť v opačnom poradí. Začnite tým, čo musíte dokázať, a zamyslite sa nad tým, ako môžete závery prepojiť s počiatočným stavom.
- Prečítajte si znova počiatočný a koncový krok a zistite, či sú si navzájom podobné. Pri tom použite pôvodné podmienky, definície a podobné dôkazy z iných problémov.
- Položte si otázky a pokračujte ďalej. Aby ste dokázali jednotlivé vyhlásenia, položte si otázku: „Prečo je to tak?“ - a: „Mohlo by to byť nesprávne?“
- Nezabudnite si jednotlivé kroky zapisovať postupne, až kým nedosiahnete konečný výsledok.
- Napríklad: ak sú uhly A a B komplementárne, ich súčet by mal byť 180 °. Podľa definície priľahlých uhlov tvoria uhly A a B priamku ABC. Pretože čiara zviera uhol 180 °, uhly A a B súčet 180 °.
5 Jednotlivé kroky dôkazu usporiadajte tak, aby boli konzistentné a logické. Začnite na začiatku a dopracujte sa k dokázateľnej téze. Aj keď je niekedy užitočné začať na konci pátrania po dôkazoch, pri jeho písaní musíte postupovať v správnom poradí. Samostatné tézy by mali nasledovať jedna po druhej, aby bol dôkaz logický a nevzbudzoval pochybnosti.
- Najprv zvážte predpoklady.
- Potvrďte uvedené tvrdenia jednoduchými a jasnými krokmi, aby čitateľ nemal pochybnosti o ich správnosti.
- Niekedy musíte dôkaz prepísať viackrát. Pokračujte v zoskupovaní vyhlásení a ich dôkazov, kým nedosiahnete najlogickejšiu štruktúru.
- Napríklad: začnime od začiatku.
  - Uhly A a B susedia.
  - Strany rohu ABC tvoria priamku.
  - Uhol ABC je 180 °.
  - Uhol A + Uhol B = Uhol ABC.
  - Uhol A + Uhol B = Uhol 180 °.
  - Uhol A je komplementárny k uhlu B.
6 V dôkaze nepoužívajte šípky a skratky. V návrhu môžu byť použité rôzne skratky a symboly, ale nezahŕňajú ich v konečnom návrhu, pretože to môže čitateľov zmiasť. Použite namiesto toho slová ako „preto“ a „potom“.
- Ako výnimky sú povolené zrozumiteľné skratky, napríklad „tj. e. " (to je), používajte ich však primerane.
7 Podporte každú tézu vetou, zákonom alebo definíciou. Dôkaz musí byť bezchybný. Nemôžete robiť ničím nepodložené vyhlásenia. Pozrite sa, ako sa stavajú dôkazy pre podobné problémy ako vy.
- Skúste použiť dôkazy, ktoré nájdete, na prípady, kde by nemali byť pravdivé, a zistite, či sú. Ak je dôkaz v takýchto prípadoch platný, skontrolujte, kde ste urobili chybu.
- Dôkazy o geometrických problémoch sa často píšu do dvoch stĺpcov. Tvrdenia sú napísané vpravo a ich dôkazy sú uvedené vľavo. V publikáciách sú zároveň vypracované matematické dôkazy vo forme odsekov s príslušnou gramatikou.
8 Ukončite dokazovanie frázou „podľa potreby preukázania“. Na konci dôkazu musí byť dokázateľná téza. Za ním by ste mali napísať „čo bolo potrebné dokázať“ (skrátene „h. Atď.“ Alebo symbol vo forme vyplneného štvorca) - to znamená, že dôkaz je úplný.
- V latinčine fráza „čo bolo potrebné dokázať“ zodpovedá skratke Q.E.D. (quod erat demonstrandum, to znamená „čo sa muselo ukázať“).
- Ak máte pochybnosti o správnosti dôkazu, napíšte pár fráz o tom, k akému záveru ste dospeli a prečo je to dôležité.