Obsah

• Na krok
• Metóda 1 z 3: Prvá jednoduchá úloha
• Metóda 2 z 3: Výpočet očakávanej hodnoty pre konkrétny výsledok
• Metóda 3 z 3: Pochopte koncept
• Tipy
• Nevyhnutnosť

Očakávaná hodnota je štatistický výraz a koncept používaný na rozhodnutie o tom, aká užitočná alebo škodlivá bude akcia. Na výpočet očakávanej hodnoty je potrebné správne porozumieť každému výsledku v konkrétnej situácii a súvisiacej pravdepodobnosti alebo pravdepodobnosti, že ku konkrétnemu výsledku dôjde. Kroky nižšie poskytujú niekoľko príkladov cvičení, ktoré vám pomôžu pochopiť koncept očakávanej hodnoty.

Na krok

Metóda 1 z 3: Prvá jednoduchá úloha

1. Prečítajte si vyhlásenie. Predtým, ako začnete premýšľať o všetkých možných výsledkoch a pravdepodobnostiach, je dôležité, aby ste problému porozumeli. Napríklad hra s kockami, ktorá stojí 10 EUR za hru. Šesťhranný kocka sa hodí raz a vaše výhry závisia od počtu, ktoré hodíte. Ak je hodená šestka, vyhrávate 30 €; a 5 zarobí 20 €; akékoľvek iné číslo nič neprináša.
2. Uveďte všetky možné výsledky. Pomáha vymenovať všetky možné výsledky v danej situácii. V príklade vyššie je 6 možných výsledkov. Jedná sa o: (1) hod a 1 a stratíš 10 dolárov, (2) hod a 2 a stratíš 10 dolárov, (3) hod a 3 a stratíš 10 dolárov, (4) hod a 4 a stratíš 10 dolárov , (5) hodí 5 a vyhrá 10 dolárov, (6) hodí 6 a vyhrá 20 dolárov.
   • Upozorňujeme, že každý výsledok je o 10 EUR nižší, ako je popísané vyššie, pretože najskôr budete musieť zaplatiť 10 EUR za hru, bez ohľadu na výsledok.
3. Určite pravdepodobnosť každého výsledku. V tomto prípade je pravdepodobnosť akýchkoľvek 6 výsledkov rovnaká. Pravdepodobnosť rolovania náhodného čísla je 1 ku 6. Aby sme si to ľahšie zapísali, napíšeme zlomok (1/6) ako desatinné miesto pomocou kalkulačky: 0,167. Túto pravdepodobnosť napíšte vedľa každého výsledku, najmä ak chcete vyriešiť problém s rôznymi pravdepodobnosťami pre každý výsledok.
   • Vaša kalkulačka 1/6 môže robiť niečo ako 0,166667. Zaokrúhľujeme to na 0,167, aby sme uľahčili výpočet bez straty presnosti.
   • Ak chcete veľmi presný výsledok, nerobte z neho desatinné miesto, zadajte do vzorca 1/6 a vypočítajte na svojej kalkulačke.
4. Zaznamenajte hodnotu každého výsledku. Vynásobte $ výsledku výsledkom pravdepodobnosť, že sa výsledok vyskytne, aby ste vypočítali, koľko peňazí tento výsledok prispeje k očakávanej hodnote. Napríklad výsledok rolovania jednotky 1 je - 10 dolárov a pravdepodobnosť rolovania jednotky 1 je 0,167. Hodnota hodu 1 je preto (-10) * (0,167).
   • Ak máte kalkulačku, ktorá umožňuje vykonávať viac operácií súčasne, nie je potrebné tieto výsledky teraz vypočítavať. Ak zadáte celú rovnicu, získate presnejší výsledok.
5. Pridajte hodnotu každého výsledku a získate očakávanú hodnotu udalosti. Ak chcete pokračovať v uvedenom príklade, očakávaná hodnota hry s kockami je: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + (20 * 0,167) alebo - 1,67 €. Môžete teda očakávať, že v tejto hre zakaždým prehráte 1,67 USD (za hru).
6. Aké sú dôsledky výpočtu očakávanej hodnoty. V príklade vyššie sme určili, že očakávaný zisk (strata) bude - 1,67 EUR za hod. Toto je nemožný výsledok pre 1 hru; môžete prehrať 10 €, vyhrať 10 € alebo vyhrať 20 €. Z dlhodobého hľadiska je však očakávaná hodnota užitočná priemerná pravdepodobnosť. Ak budete pokračovať v hraní tejto hry, priemerne prídete o zhruba 1,67 USD za hru. Ďalším spôsobom, ako premýšľať o očakávanej hodnote, je priradiť k hre určité náklady (alebo výhody); túto hru by ste mali hrať, iba ak vám to stojí za to, užiť si ju natoľko, že za ňu zakaždým utratíte 1,67 USD.
   • Čím častejšie sa situácia opakuje, tým presnejšia je očakávaná hodnota vyjadrením skutočného priemerného výsledku. Napríklad možno budete hrať hru päťkrát za sebou a zakaždým prehráte, čo vedie k priemernej strate 10 dolárov. Ak si však hru zahráte 1000-krát, priemerný výsledok sa bude blížiť a približovať očakávanej hodnote - 1,67 € za hru. Tento princíp sa nazýva „zákon veľkého počtu“.

Metóda 2 z 3: Výpočet očakávanej hodnoty pre konkrétny výsledok

1. Touto metódou vypočítajte priemerný počet mincí, ktoré musíte otočiť, kým sa vyskytne konkrétny vzor. Metódou môžete napríklad zistiť očakávaný počet mincí, ktoré sa dajú otočiť, až kým nebudete mať hlavy dvakrát za sebou. Tento problém je o niečo zložitejší ako štandardný problém týkajúci sa očakávaných hodnôt, takže ak si nie ste vedomí konceptu očakávanej hodnoty, prečítajte si najskôr vyššie uvedenú časť tohto článku.
2. Predpokladajme, že hľadáme hodnotu x. Pokúšate sa určiť, koľko mincí musíte priemerne otočiť, aby ste dostali dve hlavy za sebou. Teraz robíme porovnanie, aby sme našli odpoveď. Odpoveď, ktorú hľadáme, voláme x. Potrebné porovnanie robíme krok za krokom. V súčasnosti máme nasledujúce:
   • x = ___
3. Popremýšľajte, čo sa stane, ak prvý flip vyprodukuje mincu. Bude to tak v polovici prípadov. Ak je to váš prípad, „premrhali“ ste prevrátenie, zatiaľ čo šanca prevrátiť hlavu dvakrát za sebou sa nezmenila. Rovnako ako pri hode mincou sa očakáva, že musíte hodiť priemerne mnohokrát, kým dostanete dvakrát za sebou hlavu. Inými slovami by ste očakávali, že hodíte x-krát plus plus tie, ktoré ste už hrali. Vo forme rovnice:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Chystáme sa vyplniť prázdne miesto, keď budeme myslieť na ďalšie situácie.
   • Ak je to jednoduchšie alebo potrebné, môžete namiesto desatinných miest použiť zlomky.
4. Popremýšľajte, čo sa stane, keď budete hádzať hlavou. Existuje 0,5 (alebo 1/2) šanca, že hodíte pohár prvýkrát. Zdá sa, že sa to blíži k cieľu hodiť hlavou dvakrát po sebe, ale koľko? Najjednoduchší spôsob, ako to zistiť, je myslieť na svoje možnosti v druhom hode:
   • Ak je druhým hodom minca, sme späť na začiatku.
   • Ak je druhýkrát tiež pohár, sme hotoví!
5. Naučte sa, ako vypočítať pravdepodobnosť, že dôjde k dvom udalostiam. Teraz vieme, že máte 50% šancu, že hodíte pohár, ale aká je šanca, že hodíte pohár dvakrát za sebou? Ak chcete vypočítať túto pravdepodobnosť, vynásobte pravdepodobnosť oboch. V tomto prípade je to 0,5 x 0,5 = 0,25. Je to samozrejme tiež šanca, že budete kotúľať hlavy a potom chvosty, pretože obe majú šancu na výskyt 0,5: 0,5 x 0,5 = 0,25.
6. Výsledok pre „hlavy, potom chvosty“ pridajte do rovnice. Teraz, keď sme vypočítali pravdepodobnosť, že k tejto udalosti dôjde, môžeme prejsť k rozšíreniu rovnice. Existuje šanca 0,25 (alebo 1/4), že dvakrát premrháme vhadzovanie bez toho, aby sme sa pohli dopredu. Ale teraz potrebujeme priemerne x počet ďalších hodov, aby sme dosiahli výsledok, ktorý chceme dosiahnuť, plus 2, ktoré sme už hodili. Vo forme rovnice sa to stane (0,25) (x + 2), ktoré teraz môžeme pridať do rovnice:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. Výsledok pre „nadpis, nadpis“ pridajte do rovnice. Ak vyvalíte hlavu, hlavu s prvými dvoma hodmi mincí, máte hotovo. Výsledok ste dosiahli presne za 2 hody. Ako sme už uviedli, existuje 0,25 pravdepodobnosť, že sa tak stane, takže rovnica pre toto je (0,25) (2). Naše porovnanie je teraz úplné:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0,25) (2)
   • Ak si nie ste istí, že ste si premysleli všetky možné situácie, existuje jednoduchý spôsob, ako skontrolovať, či je rovnica úplná. Prvé číslo v každej časti rovnice predstavuje pravdepodobnosť, že dôjde k udalosti. Týmto sa pridá vždy až 1. Tu 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, takže vieme, že sme zahrnuli každú situáciu.
8. Zjednodušte rovnicu. Poďme si rovnicu trochu uľahčiť vynásobením. Pamätajte, že ak vidíte niečo v zátvorkách ako je táto: (0.5) (x + 1), potom vynásobte 0,5 každým výrazom, ktorý je v druhej množine zátvoriek. Získate toto: 0,5x + (0,5) (1) alebo 0,5x + 0,5. Urobme to pre každý výraz v rovnici a potom tieto výrazy skombinujte tak, aby vyzerali o niečo jednoduchšie:
   • x = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • x = 0,5x + 0,5 + 0,25x + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. Vyriešte x. Rovnako ako v každej rovnici budete musieť na jej výpočet izolovať x na jednej strane rovnice. Pamätajte, že x znamená „priemerný počet mincí, ktoré musíte hodiť, aby ste dostali hlavy dvakrát po sebe.“ Keď sme vypočítali x, našli sme aj svoju odpoveď.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25x = 1,5
   • (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • V priemere budete musieť hodiť mincu šesťkrát, kým dvakrát hodíte hlavou.

Metóda 3 z 3: Pochopte koncept

1. Aká je vlastne očakávaná hodnota. Hodnota očakávania nemusí byť nevyhnutne tým najzjavnejším alebo najlogickejším výsledkom. Niekedy môže byť očakávaná hodnota v danej situácii dokonca nemožnou hodnotou. Napríklad očakávaná hodnota môže byť + 5 EUR za hru s výhrou nie vyššou ako 10 EUR. Čo naznačuje hodnota očakávania, je to, akú veľkú hodnotu má konkrétna udalosť. Ak má hra očakávanú hodnotu + 5 EUR, môžete ju hrať, ak máte pocit, že to stojí za čas a peniaze, ktoré môžete za hru získať. Ak má iná hra predpokladanú hodnotu - 20 dolárov, budete ju hrať iba vtedy, ak si myslíte, že každá hra má hodnotu 20 dolárov.
2. Pochopiť pojem nezávislé udalosti. V každodennom živote si mnohí z nás myslia, že máme šťastný deň, keď sa stanú dobré veci, a očakávame, že to tak bude i po zvyšok dňa.Rovnakým spôsobom si môžeme myslieť, že už máme dosť nehôd a že teraz treba skutočne urobiť niečo zábavné. Matematicky to nejde tak. Ak hodíte bežnú mincu, je presne rovnaká šanca, že hodíte hlavou alebo mincou. Nezáleží na tom, koľkokrát ste už hodili; pri ďalšom hode to bude fungovať stále rovnako. Hod žrebom je „nezávislý“ od ostatných žrebov, nie je ním ovplyvnený.
   • Viera, že pri hode mincami (alebo v akejkoľvek inej hazardnej hre) môžete mať šťastie alebo smolu, alebo Skutočnosť, že všetky vaše smoly sa teraz skončili a šťastie je na vašej strane, sa nazýva aj podvádzanie hráča (alebo klam hráča). To súvisí s tendenciou ľudí robiť riskantné alebo hlúpe rozhodnutia, keď majú pocit, že šťastie je na ich strane, alebo ak cítia „štastie na šťastie“ alebo ak cítia, že „sa ich šťastie blíži“. ““
3. Pochopte zákon veľkého počtu. Možno si myslíte, že očakávaná hodnota nie je skutočne užitočná, pretože iba zriedka vám povie, aký je skutočný výsledok situácie. Ak ste si spočítali, že očakávaná hodnota ruletovej hry je - 1 €, a hráte ju trikrát, zvyčajne skončíte s - 10 € alebo + 60 € alebo s nejakým iným výsledkom. „Zákon veľkých čísel“ pomáha vysvetliť, prečo je očakávaná hodnota užitočnejšia, ako by ste si mysleli: čím viac budete hrať, tým bližšie k očakávanej hodnote bude priemerný výsledok. Keď sa pozriete na veľký počet udalostí, existuje veľká šanca, že sa konečný výsledok blíži očakávanej hodnote.

Tipy

• V situáciách, keď je možných viac výsledkov, môžete v počítači vytvoriť tabuľku na výpočet očakávanej hodnoty pomocou výsledkov a ich pravdepodobností.
• Vyššie uvedené výpočty EUR fungujú aj v iných menách.

Nevyhnutnosť

• Ceruzka
• Papier
• Kalkulačka