Obsah

• Na krok
• Metóda 1 z 3: Určte plochu pomocou bočných strán a apotému
• Metóda 2 z 3: Určenie oblasti pomocou dĺžky strany
• Metóda 3 z 3: Použitie vzorca
• Tipy

Päťuholník je mnohouholník s piatimi rovnými stranami. Takmer všetky problémy, s ktorými sa stretnete na hodine matematiky, budú zahŕňať päťuholníky s piatimi rovnakými stranami. Existujú dva bežné spôsoby výpočtu plochy v závislosti od toho, koľko informácií máte.

Na krok

Metóda 1 z 3: Určte plochu pomocou bočných strán a apotému

1. Začnite s dĺžkou boku a apotémom. Táto metóda funguje pre bežné päťuholníky s piatimi rovnakými stranami. Okrem dĺžky strany potrebujete „apotém“ päťuholníka. Apotémom je čiara od stredu päťuholníka k strane, ktorá pretína stranu kolmo (tj. Pod uhlom 90 °).
   • Nezamieňajte apotém s polomerom mnohouholníka, pretože pretína uhol (vrchol) namiesto bodu v strede strany. Ak poznáte iba dĺžku jednej strany a polomer, prejdite na ďalšiu metódu.
   • Ako príklad používame päťuholník s bočnou stranou 3 a apothem 2.
2. Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Nakreslite päť čiar zo stredu päťuholníka, z ktorých každá vedie k vrcholu (rohu). Teraz máte päť trojuholníkov.
3. Vypočítajte plochu trojuholníka. Každý trojuholník má jeden základňa rovná strane päťuholníka. Má tiež jednu výška čo sa rovná apotému. (Pamätajte, že výška trojuholníka je dĺžka strany, ktorá je kolmá na základňu a smeruje k vrcholu). Na výpočet plochy trojuholníka použite ½ x základňu x výšku.
   • V našom príklade je plocha trojuholníka = ½ x 3 x 2 =3.
4. Vynásobte piatimi pre celkovú plochu päťuholníka. Päťuholník sme rozdelili na päť rovnakých trojuholníkov. Ak chcete vypočítať celkovú plochu, vynásobte plochu trojuholníka piatimi.
   • V našom príklade A (súčet päťuholníka) = 5 x A (trojuholník) = 5 x 3 =15.

Metóda 2 z 3: Určenie oblasti pomocou dĺžky strany

1. Začnite s dĺžkou jednej strany. Táto metóda funguje iba pre bežné päťuholníky, ktoré majú päť strán rovnakej dĺžky.
   • V tomto príklade použijeme päťuholník s dĺžkou 7 pre každú stranu.
2. Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Nakreslite čiaru od stredu päťuholníka k vrcholu. Opakujte to pre každý vrchol. Teraz máte päť trojuholníkov, každý rovnakej veľkosti.
3. Trojuholník rozdelíme na polovicu. Nakreslite čiaru od stredu päťuholníka k spodnej časti trojuholníka. Táto čiara by mala pretínať základňu v pravom uhle (90 °), ktorý rozdeľuje trojuholník na dva rovnaké, menšie trojuholníky.
4. Označte jeden z menších trojuholníkov. Už môžeme označiť stranu a uhol menšieho trojuholníka:
   • The základňa trojuholníka je ½ násobok strany päťuholníka. V našom príklade je to ½ x 7 = 3,5 jednotky.
   • The uhol v strede päťuholníka je vždy 36 °. (Ak predpokladáme 360 ​​° pre celý kruh, môžete ho rozdeliť na 10 menších trojuholníkov. 360 ÷ 10 = 36, takže uhol takého trojuholníka je 36 °).
5. Vypočítajte výšku trojuholníka. The výška strana tohto trojuholníka je kolmá na stranu päťuholníka vedúceho do stredu. Na určenie dĺžky tejto strany používame jednoduchú trigonometriu:
   • V pravom trojuholníku je znak dotyčnica uhla rovného dĺžke opačnej strany vydeleného dĺžkou susednej strany.
   • Strana naproti 36 ° uhlu je základňou trojuholníka (polovica strany päťuholníka). Susedná strana 36 ° uhla je výška trojuholníka.
   • opálenie (36 °) = protiľahlé / susedné
   • V našom príklade je opálenie (36 °) = 3,5 / výška
   • výška x opálenie (36 °) = 3,5
   • výška = 3,5 / opálenie (36 °)
   • výška = (približne) 4,8 .
6. Vypočítajte plochu trojuholníka. Plocha trojuholníka sa rovná ½ základne x jeho výške. (A = ½ bh.) Teraz, keď poznáte výšku, zadajte tieto hodnoty a určte výšku vášho malého trojuholníka.
   • V našom príklade je plocha jedného z malých trojuholníkov = ½bh = ½ (3.5) (4.8) = 8,4.
7. Násobením vyhľadajte oblasť päťuholníka. Jeden z týchto menších trojuholníkov pokrýva 1/10 plochy päťuholníka. Pre celkovú plochu vynásobte plochu menšieho trojuholníka 10.
   • V našom príklade je plocha celého päťuholníka = 8,4 x 10 =84.

Metóda 3 z 3: Použitie vzorca

1. Použite obrys a apotém. Apotéma je čiara od stredu päťuholníka, ktorá pretína jednu stranu v pravom uhle. Ak je daná dĺžka, môžete použiť tento jednoduchý vzorec.
   • Plocha pravidelného päťuholníkaocko / 2, kde p= obvod a a= apotém.
   • Ak nepoznáte obvod, vypočítajte ho pomocou dĺžky strany: p = 5s, kde s je dĺžka strany.
2. Použite dĺžku boku. Ak poznáte iba dĺžku strán, použite nasledujúci vzorec:
   • Plocha pravidelného päťuholníka = (5s ) / (4tan (36 °)), kde s= dĺžka jednej strany.
   • tan (36º) = √ (5-2√5). Ak vaša kalkulačka nemá funkciu opálenia, použite vzorec pre oblasť: Plocha = (5s) / (4√(5-2√5)).
3. Vyberte vzorec, ktorý používa iba polomer. Môžete dokonca nájsť oblasť, ak poznáte iba polomer. Použite nasledujúci vzorec:
   • Plocha pravidelného päťuholníka = (5/2)rhriech (72 °), kde r polomer je.

Tipy

• Nepravidelné päťuholníky alebo päťuholníky s nerovnými stranami sa študujú ťažšie. Najlepším prístupom je obvykle rozdelenie päťuholníka na trojuholníky a pridanie plôch všetkých trojuholníkov. Možno bude tiež potrebné okolo päťuholníka nakresliť väčší tvar, vypočítať jeho plochu a potom odpočítať plochu extra priestoru.
• Ak je to možné, použite geometrickú metódu aj vzorec a porovnajte výsledky, aby ste skontrolovali svoju odpoveď. Odpovede sa môžu mierne líšiť, ak vzorec vyplníte naraz (pretože chýbajú kroky, ktoré dokončíte), ale mali by byť veľmi blízko seba.
• Tu uvedené príklady používajú zaokrúhlené hodnoty na uľahčenie ich matematiky. Ak máte skutočný mnohouholník s danými dĺžkami strán, získate mierne odlišné výsledky pre ostatné dĺžky a plochu.
• Vzorce sú odvodené z geometrických metód podobných tým, ktoré sú tu opísané. Skúste prísť na to, ako si ich sami odvodiť. Vzorec polomeru je ťažšie odvodiť ako ostatné (tip: potrebujete identitu s dvojitým uhlom).