Obsah

• Kroky
• Metóda 1 z 2: Priesečník dvoch čiar
• Metóda 2 z 2: Problémy s kvadratickými funkciami
• Tipy

V dvojrozmernom priestore sa dve priamky pretínajú iba v jednom bode, určenom súradnicami (x, y). Pretože obe priamky prechádzajú bodom ich priesečníka, súradnice (x, y) musia spĺňať obe rovnice, ktoré tieto čiary popisujú.S ďalšou zručnosťou môžete nájsť priesečníky paraboly a ďalšie kvadratické krivky.

Kroky

Metóda 1 z 2: Priesečník dvoch čiar

1. 1 Napíšte rovnicu pre každý riadok izoláciou premennej y na ľavej strane rovnice. Ostatné výrazy v rovnici by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice. Rovnica, ktorá vám bude namiesto „y“ obsahovať, bude pravdepodobne obsahovať premennú f (x) alebo g (x); v takom prípade izolujte takúto premennú. Ak chcete izolovať premennú, vykonajte príslušnú matematiku na oboch stranách rovnice.
   • Ak vám nie sú uvedené rovnice priamych čiar, nájdite ich na základe informácií, ktoré poznáte.
   • Príklad... Dané sú rovné čiary popísané rovnicami ${ displaystyle y = x + 3}$ a ${ Displaystyle y -12 = -2x}$... Ak chcete izolovať y v druhej rovnici, pridajte 12 na obe strany rovnice: ${ displaystyle y = 12-2x}$
2. 2 Vyrovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Našou úlohou je nájsť priesečník oboch priamych čiar, to znamená bod, ktorého súradnice (x, y) vyhovujú obom rovniciam. Pretože premenná "y" je umiestnená na ľavej strane každej rovnice, výrazy umiestnené na pravej strane každej rovnice je možné rovnať. Napíšte novú rovnicu.
   • Príklad... As ${ displaystyle y = x + 3}$ a ${ displaystyle y = 12-2x}$Potom môžete napísať nasledujúcu rovnosť: ${ Displaystyle x + 3 = 12-2x}$.
3. 3 Nájdite hodnotu premennej „x“. Nová rovnica obsahuje iba jednu premennú „x“. Ak chcete nájsť „x“, izolujte túto premennú na ľavej strane rovnice vykonaním príslušnej matematiky na oboch stranách rovnice. Mali by ste dostať rovnicu v tvare x = __ (ak to nie je možné, preskočte na koniec tejto časti).
   • Príklad. ${ Displaystyle x + 3 = 12-2x}$
   • Pridať ${ displaystyle 2x}$ na každú stranu rovnice:
   • ${ Displaystyle 3x + 3 = 12}$
   • Odčítajte 3 z každej strany rovnice:
   • ${ displaystyle 3x = 9}$
   • Rozdeľte každú stranu rovnice o 3:
   • ${ displaystyle x = 3}$.
4. 4 Z nájdenej hodnoty premennej "x" vypočítajte hodnotu premennej "y". Za týmto účelom nahraďte nájdenú hodnotu „x“ v rovnici (ľubovoľnej).
   • Príklad. ${ displaystyle x = 3}$ a ${ displaystyle y = x + 3}$
   • ${ displaystyle y = 3 + 3}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
5. 5 Skontroluj svoju odpoveď. Za týmto účelom nahraďte hodnotu „x“ v inej rovnici riadka a nájdite hodnotu „y“. Ak získate rôzne hodnoty y, skontrolujte, či sú vaše výpočty správne.
   • Príklad:${ displaystyle x = 3}$ a ${ displaystyle y = 12-2x}$
   • ${ Displaystyle y = 12-2 (3)}$
   • ${ displaystyle y = 12-6}$
   • ${ displaystyle y = 6}$
   • Získali sme rovnakú hodnotu pre „y“, takže v našich výpočtoch nie sú žiadne chyby.
6. 6 Zapíšte si súradnice (x, y). Výpočtom hodnôt „x“ a „y“ ste našli súradnice priesečníka týchto dvoch čiar. Súradnice priesečníka si zapíšte do tvaru (x, y).
   • Príklad. ${ displaystyle x = 3}$ a ${ displaystyle y = 6}$
   • V bode so súradnicami (3,6) sa teda pretínajú dve čiary.
7. 7 Výpočty v špeciálnych prípadoch. V niektorých prípadoch nie je možné nájsť hodnotu premennej "x". To však neznamená, že ste urobili chybu. Zvláštny prípad nastáva, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
   • Ak sú dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. V takom prípade sa premenná „x“ jednoducho zruší a rovnica sa zmení na bezvýznamnú rovnosť (napr. ${ displaystyle 0 = 1}$). V takom prípade napíšte do svojej odpovede to rovné čiary sa nepretínajú alebo žiadne riešenie.
   • Ak obe rovnice popisujú jednu priamku, potom bude nekonečných množstvo priesečníkov. V takom prípade sa premenná „x“ jednoducho zruší a rovnica sa zmení na striktnú rovnosť (napr. ${ displaystyle 3 = 3}$). V takom prípade napíšte do svojej odpovede to dve rovné čiary sa zhodujú.

Metóda 2 z 2: Problémy s kvadratickými funkciami

1. 1 Definícia kvadratickej funkcie. V kvadratickej funkcii má jedna alebo viac premenných druhý stupeň (ale nie vyšší), napríklad ${ displaystyle x ^ {2}}$ alebo ${ displaystyle y ^ {2}}$... Grafy kvadratickej funkcie sú krivky, ktoré sa nemusia alebo môžu pretínať v jednom alebo dvoch bodoch. V tejto časti vám ukážeme, ako nájsť bod alebo body priesečníka kvadratických kriviek.
   • Ak rovnica obsahuje výraz v zátvorkách, rozšírte zátvorky, aby ste zaistili, že funkcia bude kvadratická. Napríklad funkcia ${ Displaystyle y = (x + 3) (x)}$ je kvadratický, pretože rozšírenie zátvoriek dáva ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 3x.}$
   • Funkcia popisujúca kruh zahŕňa oboje ${ displaystyle x ^ {2}}$a ${ displaystyle y ^ {2}}$... Ak máte problémy s riešením problémov s touto funkciou, prejdite na časť „Tipy“.
2. 2 Prepíšte každú rovnicu izoláciou premennej y na ľavej strane rovnice. Ostatné výrazy v rovnici by mali byť umiestnené na pravej strane rovnice.
   • Príklad... Nájdite body (body) priesečníka grafov ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x -y = -1}$ a ${ displaystyle y = x + 7}$
   • Izolujte premennú y na ľavej strane rovnice:
   • ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ a ${ displaystyle y = x + 7}$.
   • V tomto prípade dostanete jednu kvadratickú funkciu a jednu lineárnu funkciu. Nezabudnite, že ak dostanete dve kvadratické funkcie, výpočty budú podobné nasledujúcim krokom.
3. 3 Vyrovnajte výrazy na pravej strane každej rovnice. Pretože premenná "y" je umiestnená na ľavej strane každej rovnice, výrazy umiestnené na pravej strane každej rovnice je možné rovnať.
   • Príklad. ${ Displaystyle y = x ^ {2} + 2x + 1}$ a ${ displaystyle y = x + 7}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
4. 4 Preneste všetky termíny výslednej rovnice na jej ľavú stranu a napíšte 0 na pravú stranu. Za týmto účelom vykonajte základné matematické operácie. To vám umožní vyriešiť výslednú rovnicu.
   • Príklad. ${ Displaystyle x ^ {2} + 2x + 1 = x + 7}$
   • Odčítajte „x“ z oboch strán rovnice:
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + x + 1 = 7}$
   • Odčítajte 7 z oboch strán rovnice:
   • ${ Displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
5. 5 Vyriešte kvadratickú rovnicu. Presunutím všetkých výrazov rovnice na ľavú stranu získate kvadratickú rovnicu. Dá sa to vyriešiť tromi spôsobmi: pomocou špeciálneho vzorca, ktorý doplní celý štvorec, a faktorizuje rovnicu.
   • Príklad. ${ Displaystyle x ^ {2} + x-6 = 0}$
   • Pri faktoringu rovnice získate dva binomické čísla, ktoré vynásobíte, aby ste získali pôvodnú rovnicu. V našom prípade prvý termín ${ displaystyle x ^ {2}}$ je možné rozšíriť na x * x. Vykonajte nasledujúci záznam: (x) (x) = 0
   • V našom prípade môže byť voľný termín -6 rozšírený o nasledujúce faktory: ${ displaystyle -6 * 1}$, ${ displaystyle -3 * 2}$, ${ Displaystyle -2 * 3}$, ${ Displaystyle -1 * 6}$.
   • V našom prípade je druhý výraz x (alebo 1x). Pridajte každý pár zachytávacích faktorov (v našom príklade -6), kým nezískate 1. V našom prípade sú príslušnými pármi zachytávacích faktorov -2 a 3 (${ Displaystyle -2 * 3 = -6}$), ako ${ Displaystyle -2 + 3 = 1}$.
   • Vyplňte medzery nájdenou dvojicou čísel: ${ Displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$.
6. 6 Nezabudnite na druhý priesečník dvoch grafov. V zhone môžete na druhý križovatkový bod zabudnúť. Tu nájdete postup, ako nájsť súradnice x dvoch priesečníkov:
   • Príklad (faktorizácia)... Ak v rovnici ${ Displaystyle (x-2) (x + 3) = 0}$ jeden z výrazov v zátvorkách sa bude rovnať 0, potom sa celá rovnica bude rovnať 0. Preto to môžete napísať takto: ${ Displaystyle x-2 = 0}$ → ${ displaystyle x = 2}$ a ${ displaystyle x + 3 = 0}$ → ${ displaystyle x = -3}$ (to znamená, že ste našli dva korene rovnice).
   • Príklad (pomocou vzorca alebo doplnku k úplnému štvorcu)... Pri použití jednej z týchto metód sa v procese riešenia objaví druhá odmocnina. Napríklad rovnica z nášho príkladu bude mať tvar ${ Displaystyle x = (- 1 + { sqrt {25}}) / 2}$... Nezabudnite, že ak vezmete druhú odmocninu, získate dve riešenia. V našom prípade: ${ displaystyle { sqrt {25}} = 5 * 5}$, a${ displaystyle { sqrt {25}} = (- 5) * (- 5)}$... Napíšte teda dve rovnice a nájdite dve hodnoty x.
7. 7 Grafy sa pretínajú v jednom bode alebo sa nepretínajú vôbec. K takýmto situáciám dochádza, ak sú splnené nasledujúce podmienky:
   • Ak sa grafy pretínajú v jednom bode, potom sa kvadratická rovnica rozloží na rovnaké faktory, napríklad (x-1) (x-1) = 0 a druhá odmocnina 0 sa objaví vo vzorci (${ displaystyle { sqrt {0}}}$). V tomto prípade má rovnica iba jedno riešenie.
   • Ak sa grafy vôbec nepretínajú, rovnica nie je rozložená na faktory a vo vzorci sa zobrazí druhá odmocnina záporného čísla (napríklad ${ displaystyle { sqrt {-2}}}$). V takom prípade napíšte odpoveď žiadne riešenie.
8. 8 Nájdenú hodnotu premennej „x“ nahraďte v rovnici (akejkoľvek) krivky. Zistí sa hodnota premennej y. Ak máte pre premennú „x“ dve hodnoty, postupujte podľa popísaného postupu s oboma hodnotami „x“.
   • Príklad... Pre premennú „x“ ste našli dve hodnoty: ${ displaystyle x = 2}$ a ${ displaystyle x = -3}$... Pripojte každú z týchto hodnôt do lineárnej rovnice ${ displaystyle y = x + 7}$... Získate: ${ Displaystyle y = 2 + 7 = 9}$ a ${ displaystyle y = -3 + 7 = 4}$.
9. 9 Súradnice priesečníka si zapíšte do tvaru (x, y). Výpočtom hodnôt x a y ste našli súradnice priesečníka týchto dvoch grafov. Ak ste identifikovali dve hodnoty „x“ a „y“, zapíšte si dve dvojice súradníc bez toho, aby ste si mýlili zodpovedajúce hodnoty „x“ a „y“.
   • Príklad... Pri dosadení do rovnice ${ displaystyle x = 2}$ Dostaneš ${ displaystyle y = 9}$, to znamená jeden pár súradníc (2, 9)... Vykonaním rovnakého výpočtu s druhou hodnotou x získate druhú dvojicu súradníc (-3, 4).

Tipy

• Funkcia popisujúca kruh zahŕňa oboje ${ displaystyle x ^ {2}}$a ${ displaystyle y ^ {2}}$... Ak chcete nájsť priesečníky bodu kružnice a priamky, vypočítajte „x“ pomocou lineárnej rovnice. Potom zapojte nájdenú hodnotu x do funkcie, ktorá popisuje kruh, a získate jednoduchú kvadratickú rovnicu, ktorá nemusí mať riešenie alebo má jedno alebo dve riešenia.
• Kruh a krivka (kvadratický alebo iný) sa nesmie pretínať alebo pretínať v jednom, dvoch, troch, štyroch bodoch. V takom prípade musíte nájsť hodnotu x (nie "x") a potom ju nahradiť druhou funkciou. Výpočtom y získate jedno alebo dve riešenia alebo žiadne riešenia. Teraz zapojte nájdenú hodnotu „y“ do jednej z dvoch funkcií a nájdite hodnotu „x“. V takom prípade dostanete jedno alebo dve riešenia, alebo žiadne.