Obsah

• Kroky
• Časť 1 z 2: Základy
• Časť 2 z 2: Transformácia rozšírenej matice na riešenie SLAE
• Tipy

Systém rovníc je množina dvoch alebo viacerých rovníc, ktoré majú spoločný súbor neznámych, a teda spoločné riešenie. Graf sústavy lineárnych rovníc sú dve rovné čiary a riešením systému je priesečník týchto priamych čiar. Na riešenie takýchto systémov lineárnych rovníc je užitočné a vhodné použiť matice.

Kroky

Časť 1 z 2: Základy

1. 1 Terminológia. Systémy lineárnych rovníc sa skladajú z rôznych komponentov. Premenná je označená abecedným znakom (zvyčajne x alebo y) a znamená číslo, ktoré ešte nepoznáte a musíte ho nájsť. Konštanta je určité číslo, ktoré nemení svoju hodnotu.Koeficient je číslo pred premennou, to znamená číslo, ktorým sa premenná vynásobí.
   • Napríklad pre lineárnu rovnicu 2x + 4y = 8, x a y sú premenné, 8 je konštanta a čísla 2 a 4 sú koeficienty.
2. 2 Forma pre sústavu lineárnych rovníc. Systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE) s dvoma premennými možno zapísať nasledovne: ax + by = p, cx + dy = q. Akékoľvek konštanty (p, q) môžu byť nulové, ale každá z rovníc musí obsahovať aspoň jednu premennú (x, y).
3. 3 Maticové výrazy. Akákoľvek SLAE môže byť zapísaná v maticovej forme a potom ju pomocou algebraických vlastností matíc vyriešiť. Pri písaní systému rovníc v maticovej forme A predstavuje koeficienty matice, C predstavuje konštantné matice a X označuje neznámu maticu.
   • Vyššie uvedené SLAE je možné napríklad prepísať v nasledujúcej maticovej forme: A x X = C.
4. 4 Rozšírená matica. Rozšírená matica sa získa prenosom matice voľných výrazov (konštánt) na ľavú stranu. Ak máte dve matice, A a C, potom bude rozšírená matica vyzerať takto:
   • Napríklad pre nasledujúci systém lineárnych rovníc:
     2x + 4r = 8
     x + y = 2
     Rozbalená matica bude 2x3 a bude vyzerať takto:

Časť 2 z 2: Transformácia rozšírenej matice na riešenie SLAE

1. 1 Elementárne operácie. Na matici môžete vykonávať určité operácie, čím získate maticu ekvivalentnú s pôvodnou. Takéto operácie sa nazývajú elementárne. Ak chcete napríklad vyriešiť maticu 2x3, musíte vykonať riadkové operácie, aby sa matica dostala do trojuholníkového tvaru. Takéto operácie môžu byť:
   • permutácia dvoch čiar.
   • vynásobenie reťazca nenulovým číslom.
   • vynásobením reťazca a jeho pridaním k inému.
2. 2 Násobenie druhého riadku nenulovým číslom. Ak chcete na druhom riadku nulu, môžete tento riadok vynásobiť.
   • Ak máte napríklad takúto maticu:
     
     
     Môžete ponechať prvý riadok a použiť ho na získanie nuly v druhom riadku. Aby ste to urobili, musíte najskôr vynásobiť druhý riadok 2:
3. 3 Znásobte znova. Ak chcete získať nulu pre prvý riadok, možno budete musieť znova množiť pomocou podobných manipulácií.
   • Vo vyššie uvedenom príklade musíte vynásobiť druhý riadok -1:
     
     
     Po vynásobení bude matica vyzerať takto:
4. 4 Pridajte prvý riadok do druhého. Pridajte riadky, aby ste namiesto prvého stĺpca a druhého riadka dostali nulu.
   • V našom prípade pridajte oba riadky, aby ste získali nasledujúce:
5. 5 Napíšte nový systém lineárnych rovníc pre trojuholníkovú maticu. Keď získate trojuholníkovú maticu, môžete sa vrátiť späť k SLAE. Prvý stĺpec matice zodpovedá neznámej premennej x a druhý neznámej premennej y. Tretí stĺpec zodpovedá prierezu rovnice.
   • V našom prípade bude mať nový systém lineárnych rovníc tvar:
6. 6 Vyriešte rovnicu pre jednu z premenných. V novom SLAE určte, ktorá premenná je najľahšie na nájdenie a vyriešenie rovnice.
   • V našom prípade je pohodlnejšie riešiť od konca, to znamená od poslednej rovnice k prvej, pohybom zdola nahor. Z druhej rovnice ľahko nájdeme riešenie pre y, pretože sme sa zbavili x, takže y = 2.
7. 7 Nájdite druhú neznámu substitučnou metódou. Keď nájdete jednu z premenných, môžete ju zapojiť do druhej rovnice a nájsť druhú premennú.
   • V našom prípade stačí nahradiť y y 2 v prvej rovnici a nájsť neznáme x:

Tipy

• Maticové prvky sa bežne označujú ako skaláry.
• Na vyriešenie matice 2x3 musíte vykonať elementárne riadkové operácie. Tieto operácie nemôžete vykonávať so stĺpcami.