Obsah

• Kroky
• Časť 1 z 2: Hľadanie primárnych faktorov
• Časť 2 z 2: Použitie prvočíselných činiteľov
• Príklady úloh
• Tipy
• Varovania

Akékoľvek prirodzené číslo je možné rozložiť na súčin primárnych faktorov. Ak vás nebaví zaoberať sa veľkými číslami, ako je 5733, naučte sa ich faktorizovať (v tomto prípade 3 x 3 x 7 x 7 x 13). S podobnou úlohou sa často stretávame v kryptografii, ktorá sa zaoberá problémami informačnej bezpečnosti. Ak ešte nie ste pripravení vybudovať si vlastný bezpečný e -mailový systém, naučte sa najskôr faktorizovať čísla.

Kroky

Časť 1 z 2: Hľadanie primárnych faktorov

1. 1 Zistite, čo je faktoring. Rozklad čísla na súčin faktorov je proces jeho „rozdelenia“ na menšie časti.Po vynásobení tieto časti alebo faktory udávajú pôvodné číslo.
   • Napríklad číslo 18 je možné rozložiť na nasledujúce produkty: 1 x 18, 2 x 9 alebo 3 x 6.
2. 2 Pamätajte si, čo sú prvočísla. Prvočíslo je deliteľné iba dvoma číslami bezo zvyšku: samo osebe a čísle 1. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako súčin 5 a 1. Toto číslo nie je možné rozložiť na iné faktory. Účelom rozdelenia čísla na prvočíselné faktory je reprezentovať ho ako súčin prvočísel. To je obzvlášť užitočné pri práci so zlomkami, pretože vám umožňuje ich porovnanie a zjednodušenie.
3. 3 Začnite s pôvodným číslom. Vyberte zložené číslo väčšie ako 3. Nemá zmysel brať prvočíslo, pretože je deliteľné iba samo sebou a číslom jedna.
   • Príklad: Rozložme číslo 24 na súčin prvočísel.
4. 4 Rozdeľme toto číslo na súčin dvoch faktorov. Nájdite dve menšie čísla, ktorých súčin sa rovná pôvodnému číslu. Je možné použiť ľubovoľný faktor, ale je jednoduchšie vziať prvočísla. Jednou z dobrých možností je pokúsiť sa vydieť pôvodné číslo najskôr 2, potom 3, potom 5 a skontrolovať, ktoré z týchto prvočísel bezo zvyšku delí.
   • Príklad: Ak nepoznáte faktory pre 24, skúste to rozdeliť na malé prvočísla. Takže zistíte, že dané číslo je deliteľné 2: 24 = 2 x 12... Toto je dobrý začiatok.
   • Keďže 2 je prvočíslo, je dobré ho použiť pri rozdeľovaní párnych čísel.
5. 5 Začnite stavať strom multiplikátora. Tento jednoduchý postup vám pomôže vypočítať číslo. Na začiatok nakreslite dve „vetvy“ z pôvodného čísla. Na konci každej vetvy napíšte zistené faktory.
   • Príklad:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Vypočítajte ďalší riadok čísel. Pozrite sa na dve nové čísla (druhý riadok stromu multiplikátora). Sú obaja prvočísla? Ak jeden z nich nie je jednoduchý, rozdeľte ho tiež dvoma faktormi. Vytvorte ďalšie dve vetvy a do tretieho riadka stromu napíšte dva nové faktory.
   • Príklad: 12 nie je prvočíslo, preto by sa malo faktorizovať. Použite rozklad 12 = 2 x 6 a napíšte ho do tretieho riadka stromu:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Pokračujte dole po strome. Ak sa ukáže, že jedným z nových faktorov je prvočíslo, nakreslite z neho jednu „vetvu“ a na koniec napíšte rovnaké číslo. Prvočísla nie je možné rozšíriť na menšie faktory, preto ich posuňte o úroveň nižšie.
   • Príklad: 2 je prvočíslo. Presuňte 2 z druhého do tretieho riadku:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Pokračujte vo faktorizácii čísel, kým vám nezostanú iba prvočísla. Skontrolujte každý nový riadok stromu. Ak aspoň jeden z nových faktorov nie je prvočíslom, zadajte ho a napíšte nový riadok. Nakoniec vám zostanú len prvočísla.
   • Príklad: 6 nie je prvočíslo, preto by malo byť tiež faktorizované. 2 je prvočíslo a tieto dve dvojky prenášame na ďalšiu úroveň:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Napíšte posledný riadok ako súčin primárnych faktorov. Nakoniec vám zostanú len prvočísla. Keď sa to stane, základná faktorizácia je dokončená. Posledný riadok je sada prvočísel, ktorých súčin uvádza pôvodné číslo.
   • Skontrolujte svoju odpoveď: vynásobte čísla v poslednom riadku. Výsledkom by malo byť pôvodné číslo.
   • Príklad: Posledný riadok stromu faktorov obsahuje čísla 2 a 3. Obe tieto čísla sú prvočíselné, takže rozklad je úplný. Primárna faktorizácia 24 má teda nasledujúcu formu: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Na poradí faktorov nezáleží. Rozklad je možné zapísať aj ako 2 x 3 x 2 x 2.
10. 10 V prípade potreby svoju odpoveď zjednodušte exponenciálnym zápisom. Ak ste oboznámení s umocňovaním čísel, odpoveď môžete napísať jednoduchšie.Nezabudnite, že základ je napísaný v spodnej časti a číslo horného indexu udáva, koľkokrát sa má tento základ sám vynásobiť.
    • Príklad: koľkokrát sa číslo 2 vyskytuje v nájdenom rozklade 2 x 2 x 2 x 3? Trikrát, takže výraz 2 x 2 x 2 možno zapísať ako 2. V zjednodušenej notácii dostaneme 2 x 3.

Časť 2 z 2: Použitie prvočíselných činiteľov

1. 1 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel. Najväčší spoločný deliteľ (GCD) dvoch čísel je maximálny počet, pomocou ktorého sú obe čísla deliteľné bezo zvyšku. Nasledujúci príklad ukazuje, ako použiť primárnu faktorizáciu na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa 30 a 36.
   • Rozoberme obe čísla na hlavné faktory. Pre 30 je faktorizácia 2 x 3 x 5. Číslo 36 sa rozloží na hlavné faktory nasledovne: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Nájdeme číslo, ktoré sa vyskytuje v oboch rozšíreniach. Preškrtneme toto číslo v oboch zoznamoch a napíšeme ho na nový riadok. Napríklad 2 sa vyskytuje v dvoch rozšíreniach, takže píšeme 2 na novom riadku. Potom máme 30 = 2 x 3 x 5 a 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Tento krok opakujte, kým v rozšíreniach nezostanú žiadne spoločné faktory. Oba zoznamy obsahujú aj číslo 3, takže na nový riadok môžete písať 2 a 3... Potom znova porovnajte rozšírenia: 30 = 2 x 3 x 5 a 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Ako vidíte, nezostali v nich žiadne spoločné faktory.
   • Ak chcete nájsť najväčší spoločný faktor, nájdite súčin všetkých spoločných faktorov. V našom prípade sú to 2 a 3, takže gcd je 2 x 3 = 6... Toto je najväčšie číslo, ktoré rovnomerne delí čísla 30 a 36.
2. 2 Pomocou GCD môžete zjednodušiť zlomky. Ak máte podozrenie, že zlomok je možné zrušiť, použite najväčší spoločný faktor. Pomocou vyššie uvedeného postupu nájdite GCD čitateľa a menovateľa. Potom vydeľte čitateľa a menovateľa zlomku týmto číslom. Výsledkom je, že dostanete rovnaký zlomok v jednoduchšej forme.
   • Zjednodušme napríklad zlomok /₃₆... Ako sme uviedli vyššie, pre 30 a 36 je GCD 6, takže čitateľa a menovateľa delíme 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel. Najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch čísel je najmenšie číslo, ktoré je rovnomerne deliteľné oboma číslami. Napríklad LCM 2 a 3 je 6, pretože je to najmenšie číslo, ktoré je možné rozdeliť na 2 a 3. Nasleduje príklad nájdenia LCM pomocou primárnej faktorizácie:
   • Začnime dvoma základnými faktorizáciami. Napríklad pre 126 možno faktorizáciu zapísať ako 2 x 3 x 3 x 7. Číslo 84 je možné rozložiť na prvočinitele ako 2 x 2 x 3 x 7.
   • Porovnajme, koľkokrát sa každý faktor vyskytuje v expanziách. Vyberte zoznam, v ktorom sa maximálny počet násobiteľov vyskytuje, a zakrúžkujte toto miesto. Napríklad číslo 2 sa objaví raz v rozšírení pre 126 a dvakrát v zozname pre 84, takže by ste mali zakrúžkovať 2 x 2 v druhom zozname faktorov.
   • Tento krok zopakujte pre každý multiplikátor. Napríklad 3 je v prvom rozšírení bežnejšie, takže by ste v ňom mali zakrúžkovať 3 x 3... Číslo 7 sa v oboch zoznamoch vyskytuje raz, preto krúžime 7 (je jedno v ktorom zozname, ak sa daný faktor vyskytuje v oboch zoznamoch rovnako často).
   • Ak chcete nájsť LCM, vynásobte všetky zakrúžkované čísla. V našom prípade je najmenší spoločný násobok 126 a 84 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Toto je najmenšie číslo deliteľné 126 a 84 bezo zvyšku.
4. 4 Na pridanie frakcií použite LCM. Pri sčítaní dvoch zlomkov je potrebné ich uviesť do spoločného menovateľa. Ak to chcete urobiť, nájdite LCM dvoch menovateľov. Potom vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku takým číslom, aby sa menovatelia zlomkov rovnali LCM. Potom môžete pridať zlomky.
   • Musíte napríklad nájsť sumu /₆ + /₂₁.
   • Pomocou vyššie uvedenej metódy nájdete LCM pre 6 a 21. Je to 42.
   • Transformujeme zlomok /₆ tak, aby jeho menovateľ bol 42. Na to musíte rozdeliť 42 na 6: 42 ÷ 6 = 7. Teraz vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku 7: /₆ X /₇ = /₄₂.
   • Ak chcete priniesť druhý zlomok do menovateľa 42, delte 42 krát 21: 42 ÷ 21 = 2. Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku 2: /₂₁ X /₂ = /₄₂.
   • Potom, čo sú zlomky redukované na rovnakého menovateľa, môžu byť ľahko pridané: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Príklady úloh

• Skúste nižšie uvedené problémy vyriešiť sami.Ak si myslíte, že ste dostali správnu odpoveď, zvýraznite myšou miesto za dvojbodkou vo vyhlásení o probléme. Posledné uvedené úlohy sú najťažšie.
• Nájdite hlavnú faktorizáciu pre 16: 2 x 2 x 2 x 2
• Svoju odpoveď napíšte exponenciálnym spôsobom: 2
• Nájdite hlavnú faktorizáciu 45: 3 x 3 x 5
• Svoju odpoveď napíšte exponenciálnym spôsobom: 3 x 5
• Nájdite hlavnú faktorizáciu pre 34: 2 x 17
• Nájdite hlavnú faktorizáciu 154: 2 x 7 x 11
• Nájdite primárnu faktorizáciu pre 8 a 40 a potom určte ich najväčší spoločný faktor: primárna faktorizácia 8 je 2 x 2 x 2 x 2; primárna faktorizácia 40 je 2 x 2 x 2 x 5; GCD dvoch čísel 2 x 2 x 2 = 6.
• Nájdite primárnu faktorizáciu pre 18 a 52 a nájdite ich najmenej spoločný násobok: Primárna faktorizácia 18 je 2 x 3 x 3; primárna faktorizácia 52 je 2 x 2 x 13; LCM dvoch čísel je 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Tipy

• Každé číslo má svoju vlastnú charakteristickú faktorizáciu. Nezáleží na tom, ako nájdete toto rozšírenie, mali by ste skončiť s rovnakou odpoveďou. Toto sa nazýva základná teória aritmetiky.
• Namiesto toho, aby ste prvočísla vždy prepisovali na nový riadok faktorového stromu, môžete ich nechať na mieste a jednoducho ich zakrúžkovať. Na konci expanzie bude obsahovať všetky zakrúžkované hlavné faktory.
• Vždy skontrolujte odpoveď, ktorú dostanete. Môžete urobiť chybu a nevšimnúť si to.
• Pripravte sa na náročné misie. Ak sa od vás požaduje, aby ste našli prvočíslu prvočísla, nie je potrebné vykonávať žiadne výpočty. Napríklad pre číslo 17 je hlavná faktorizácia 17; toto číslo nemožno rozložiť na iné hlavné faktory.
• Najväčší spoločný faktor a najmenej spoločný násobok možno nájsť pre tri alebo viac čísel.

Varovania

• Strom multiplikátorov vám umožňuje určiť iba hlavné faktory, nie všetky možné faktory.