Obsah

• Kroky
• Metóda 1 z 3: Ako nájsť neznámu stranu
• Metóda 2 z 3: Nájdenie neznámeho uhla
• Metóda 3 z 3: Vzorové problémy
• Tipy

Kosínová veta je široko používaná v trigonometrii. Používa sa pri práci s nepravidelnými trojuholníkmi na nájdenie neznámych veličín, ako sú strany a uhly. Veta je podobná Pytagorovej vete a je pomerne ľahko zapamätateľná. Kosínová veta hovorí, že v ľubovoľnom trojuholníku ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Kroky

Metóda 1 z 3: Ako nájsť neznámu stranu

1. 1 Zapíšte si známe hodnoty. Ak chcete nájsť neznámu stranu trojuholníka, musíte poznať ďalšie dve strany a uhol medzi nimi.
   • Napríklad daný trojuholník XYZ. Strana YX je 5 cm, strana YZ je 9 cm a uhol Y je 89 °. Aká je strana XZ?
2. 2 Napíšte vzorec kozínovej vety. Vzorec: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kde ${ displaystyle c}$ - neznáma párty, ${ displaystyle cos {C}}$ - kosínus uhla opačného k neznámej strane, ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ - dve známe strany.
3. 3 Pripojte známe hodnoty do vzorca. Premenné ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ označujú dve známe strany. Variabilné ${ displaystyle C}$ je známy uhol, ktorý leží medzi stranami ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$.
   • V našom prípade je strana XZ neznáma, takže vo vzorci je označená ako ${ displaystyle c}$... Pretože strany YX a YZ sú známe, označujú sa premennými ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$... Variabilné ${ displaystyle C}$ je uhol Y. Vzorec bude teda napísaný nasledovne: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Nájdite kosínus známeho uhla. Urobte to pomocou kalkulačky. Zadajte hodnotu uhla a potom kliknite na ${ displaystyle COS}$... Ak nemáte vedeckú kalkulačku, nájdite online kosínusovú tabuľku napríklad tu. V službe Yandex môžete zadať aj „kosínus X stupňov“ (nahradiť hodnotu uhla znakom X) a vyhľadávací nástroj zobrazí kosínus uhla.
   • Napríklad kosínus je 89 ° ≈ 0,01745. Takže: ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Vynásobte čísla. Znásobiť ${ displaystyle 2ab}$ kosínusom známeho uhla.
   • Napríklad:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Zložte štvorce známych strán. Nezabudnite, že ak chcete číslo vycentrovať, musí sa vynásobiť samo sebou. Najprv vycentrujte zodpovedajúce čísla a potom pridajte výsledné hodnoty.
   • Napríklad:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Odpočítajte dve čísla. Nájdete ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Napríklad:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
8. 8 Vezmite druhú odmocninu z tejto hodnoty. Ak to chcete urobiť, použite kalkulačku. Takto nájdete neznámu stránku.
   • Napríklad:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 104,4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}}$
     ${ Displaystyle c = 10.2191}$
     Neznáma strana má teda 10,2191 cm.

Metóda 2 z 3: Nájdenie neznámeho uhla

1. 1 Zapíšte si známe hodnoty. Ak chcete nájsť neznámy uhol trojuholníka, potrebujete poznať všetky tri strany trojuholníka.
   • Napríklad vzhľadom na trojuholník RST. Strana CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Nájdite hodnotu uhla S.
2. 2 Napíšte vzorec kozínovej vety. Vzorec: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kde ${ displaystyle cos {C}}$ - kosínus neznámeho uhla, ${ displaystyle c}$ - známa strana oproti neznámemu rohu, ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ - ďalšie dve slávne večierky.
3. 3 Nájdite hodnoty a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} a c{ displaystyle c}. Potom ich zapojte do vzorca.
   • Strana RT je napríklad opačná k neznámemu uhlu S, takže strana RT je ${ displaystyle c}$ vo vzorci. Ostatné strany budú ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$... Vzorec bude teda napísaný nasledovne: ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Vynásobte čísla. Znásobiť ${ displaystyle 2ab}$ kosínusom neznámeho uhla.
   • Napríklad, ${ Displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Vztýčený c{ displaystyle c} na námestí. To znamená, že vynásobte samotné číslo.
   • Napríklad, ${ Displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Zložte štvorce a{ displaystyle a} a b{ displaystyle b}. Najskôr však vycentrujte zodpovedajúce čísla.
   • Napríklad:
     ${ Displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Izolujte kosínus neznámeho uhla. Ak to chcete urobiť, odpočítajte sumu ${ displaystyle a ^ {2}}$ a ${ displaystyle b ^ {2}}$ z oboch strán rovnice. Potom rozdeľte každú stranu rovnice na faktor v kosinuse neznámeho uhla.
   • Ak chcete napríklad izolovať kosínus neznámeho uhla, odčítajte 164 od oboch strán rovnice a potom rozdeľte každú stranu o -160:
     ${ Displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Vypočítajte inverzný kosínus. Zistí sa hodnota neznámeho uhla. Na kalkulačke je označená inverzná kosínusová funkcia ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Napríklad arkkozín 0,0125 je 82,8192. Uhol S je teda 82,8192 °.

Metóda 3 z 3: Vzorové problémy

1. 1 Nájdite neznámu stranu trojuholníka. Známe strany sú 20 cm a 17 cm a uhol medzi nimi je 68 °.
   • Pretože máte dve strany a uhol medzi nimi, môžete použiť kosínusovú vetu. Napíšte vzorec: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Neznáma strana je ${ displaystyle c}$... Pripojte známe hodnoty do vzorca: ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Vypočítajte ${ displaystyle c ^ {2}}$dodržiavanie poradia matematických operácií:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434,2675}$
   • Vezmite druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Takto nájdete neznámu stránku:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}}$
     ${ Displaystyle c = 20.8391}$
     Neznáma strana má teda 20,8391 cm.
2. 2 Nájdite uhol H v trojuholníku GHI. Dve strany susediace s rohom H majú 22 a 16 cm, strana opačná k rohu H je 13 cm.
   • Pretože sú dané všetky tri strany, je možné použiť kosínusovú vetu. Napíšte vzorec: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Strana oproti neznámemu rohu je ${ displaystyle c}$... Pripojte známe hodnoty do vzorca: ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Zjednodušte výsledný výraz:
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ Displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Izolujte kosínus:
     ${ Displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ Displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Nájdite inverzný kosínus. Takto vypočítate neznámy uhol:
     ${ Displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Uhol H je teda 35,7985 °.
3. 3 Zistite dĺžku trasy. Riečne, kopcovité a močaristé chodníky tvoria trojuholník. Dĺžka riečneho chodníka je 3 km, dĺžka kopcovitého chodníka je 5 km; tieto chodníky sa navzájom pretínajú pod uhlom 135 °. Močarový chodník spája dva konce ostatných chodníkov. Zistite dĺžku Swamp Trail.
   • Chodníky tvoria trojuholník. Musíte nájsť dĺžku neznámej cesty, ktorá je stranou trojuholníka. Pretože sú uvedené dĺžky ďalších dvoch dráh a uhol medzi nimi, je možné použiť kosínusovú vetu.
   • Napíšte vzorec: ${ Displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Neznáma cesta (Swamp) bude označená ako ${ displaystyle c}$... Pripojte známe hodnoty do vzorca: ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Vypočítajte ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ Displaystyle c ^ {2} = 55,2132}$
   • Vezmite druhú odmocninu z oboch strán rovnice. Takto zistíte dĺžku neznámej cesty:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}}$
     ${ Displaystyle c = 7.4306}$
     Dĺžka močiarnej cesty je teda 7,4306 km.

Tipy

• Je jednoduchšie použiť sínusovú vetu. Preto najskôr zistite, či sa to dá na daný problém aplikovať.