Obsah

• Kroky
• Metóda 1 z 2: Algebraická metóda
• Metóda 2 z 2: Grafická metóda
• Tipy
• Varovanie

Funkcie môžu byť párne, nepárne alebo obecné (to znamená, že ani párne, ani nepárne). Typ funkcie závisí od prítomnosti alebo absencie symetrie. Najlepším spôsobom, ako určiť druh funkcie, je vykonať sériu algebraických výpočtov. Typ funkcie sa však dá zistiť aj podľa jej plánu. Naučením sa definovať druh funkcií môžete predpovedať správanie určitých kombinácií funkcií.

Kroky

Metóda 1 z 2: Algebraická metóda

1. 1 Pamätajte si, aké sú opačné hodnoty premenných. V algebre je opačná hodnota premennej zapísaná so znamienkom „-“ (mínus). Navyše to platí pre akékoľvek označenie nezávislej premennej (písmenom ${ displaystyle x}$ alebo akékoľvek iné písmeno). Ak v pôvodnej funkcii už je pred premennou záporné znamienko, potom jej opačná hodnota bude kladná premenná. Nasledujú príklady niektorých premenných a ich opačných významov:
   • Opačný význam pre ${ displaystyle x}$ je ${ displaystyle -x}$.
   • Opačný význam pre ${ displaystyle q}$ je ${ displaystyle -q}$.
   • Opačný význam pre ${ displaystyle -w}$ je ${ displaystyle w}$.
2. 2 Vysvetľujúcu premennú nahraďte jej opačnou hodnotou. To znamená, že obrátime znamienko nezávislej premennej. Napríklad:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ mení sa v ${ Displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ Displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ mení sa v ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ Displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ mení sa v ${ Displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Zjednodušte novú funkciu. V tomto momente nemusíte za nezávislú premennú nahrádzať konkrétne číselné hodnoty. Novú funkciu f (-x) stačí zjednodušiť a porovnať s pôvodnou funkciou f (x). Nezabudnite na základné pravidlo umocnenia: zvýšenie negatívnej premennej na párnu mocninu bude mať za následok kladnú premennú a zvýšenie negatívnej premennej na nepárnu mocninu bude mať za následok zápornú premennú.
   • ${ Displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ Displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ Displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ Displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ Displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Porovnajte obe funkcie. Porovnajte zjednodušenú novú funkciu f (-x) s pôvodnou funkciou f (x). Zapíšte si zodpovedajúce pojmy oboch funkcií pod seba a porovnajte ich znamienka.
   • Ak sa znamienka zodpovedajúcich výrazov oboch funkcií zhodujú, tj. F (x) = f (-x), pôvodná funkcia je párna. Príklad:
     • ${ Displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ a ${ Displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Tu sa znaky výrazov zhodujú, takže pôvodná funkcia je rovnomerná.
   • Ak sú znaky príslušných pojmov oboch funkcií navzájom opačné, tj. F (x) = -f (-x), pôvodná funkcia je párna. Príklad:
     • ${ Displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, ale ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Všimnite si toho, že ak vynásobíte každý výraz v prvej funkcii -1, získate druhú funkciu. Pôvodná funkcia g (x) je teda nepárna.
   • Ak nová funkcia nezodpovedá žiadnemu z vyššie uvedených príkladov, potom je to všeobecná funkcia (to znamená, že nie je ani párna, ani nepárna). Napríklad:
     • ${ Displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, ale ${ Displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Znaky prvých pojmov oboch funkcií sú rovnaké a znaky druhých výrazov sú opačné. Táto funkcia preto nie je ani párna, ani nepárna.

Metóda 2 z 2: Grafická metóda

1. 1 Zostavte graf funkcií. Na tento účel použite milimetrový papier alebo grafickú kalkulačku. Vyberte ľubovoľný násobok hodnôt numerických vysvetľujúcich premenných ${ displaystyle x}$ a zapojte ich do funkcie na výpočet hodnôt závislej premennej ${ displaystyle y}$... Nakreslite nájdené súradnice bodov do súradnicovej roviny a potom tieto body spojte a vytvorte graf funkcie.
   • Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty ${ displaystyle x}$ a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad vzhľadom na funkciu ${ Displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Pripojte nasledujúce hodnoty ${ displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Získali ste bod so súradnicami ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Získali ste bod so súradnicami ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ Displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Získali ste bod so súradnicami ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ Displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Získali ste bod so súradnicami ${ displaystyle (-2.9)}$.
2. 2 Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický k osi y. Symetria sa týka zrkadlenia grafu okolo osi osi. Ak sa časť grafu vpravo od osi y (pozitívna vysvetľujúca premenná) zhoduje s časťou grafu vľavo od osi y (záporné hodnoty vysvetľujúcej premennej), graf je symetrický asi os y. Ak je funkcia symetrická k súradnici, je funkcia párna.
   • Symetriu grafu môžete skontrolovať podľa jednotlivých bodov. Ak hodnota ${ displaystyle y}$čo zodpovedá hodnote ${ displaystyle x}$, zodpovedá hodnote ${ displaystyle y}$čo zodpovedá hodnote ${ displaystyle -x}$, funkcia je rovnomerná.V našom prípade s funkciou ${ Displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ dostali sme nasledujúce súradnice bodov:
     • (1,3) a (-1,3)
     • (2,9) a (-2,9)
   • Všimnite si toho, že keď x = 1 a x = -1, závislá premenná je y = 3 a keď x = 2 a x = -2, závislá premenná je y = 9. Funkcia je teda rovnomerná. V skutočnosti, aby ste zistili presnú formu funkcie, musíte vziať do úvahy viac ako dva body, ale opísaná metóda je dobrou aproximáciou.
3. 3 Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický k pôvodu. Počiatok je bod so súradnicami (0,0). Symetria o pôvode znamená kladnú hodnotu ${ displaystyle y}$ (s kladnou hodnotou ${ displaystyle x}$) zodpovedá zápornej hodnote ${ displaystyle y}$ (so zápornou hodnotou ${ displaystyle x}$), a naopak. Nepárne funkcie sú symetrické k pôvodu.
   • Ak vo funkcii dosadíme niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt ${ displaystyle x}$, hodnoty ${ displaystyle y}$ sa bude líšiť v znamení. Napríklad vzhľadom na funkciu ${ Displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Nahraďte ním viacero hodnôt ${ displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Získali ste bod so súradnicami (1,2).
     • ${ Displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Získali sme bod so súradnicami (-1, -2).
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Získali ste bod so súradnicami (2,10).
     • ${ Displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Získali sme bod so súradnicami (-2, -10).
   • Teda f (x) = -f (-x), to znamená, že funkcia je nepárna.
4. 4 Skontrolujte, či má graf funkcie symetriu. Posledným typom funkcie je funkcia, ktorej graf nemá symetriu, to znamená, že nedochádza k zrkadleniu ani na osi osi, ani na začiatku. Napríklad vzhľadom na funkciu ${ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Do funkcie nahraďte niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporných hodnôt ${ displaystyle x}$:
     • ${ Displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Získali ste bod so súradnicami (1,4).
     • ${ Displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Získali sme bod so súradnicami (-1, -2).
     • ${ Displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Získali ste bod so súradnicami (2,10).
     • ${ Displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Získali sme bod so súradnicami (2, -2).
   • Podľa získaných výsledkov neexistuje symetria. Hodnoty ${ displaystyle y}$ pre opačné hodnoty ${ displaystyle x}$ nezhodujú sa a nie sú opakom. Funkcia teda nie je ani párna, ani nepárna.
   • Všimnite si toho, že funkcia ${ Displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ dá sa to napísať takto: ${ Displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Keď je táto funkcia napísaná v tejto forme, zdá sa, že je vyrovnaná, pretože je prítomný rovnomerný exponent. Tento príklad však dokazuje, že druh funkcie nemožno rýchlo určiť, ak je nezávislá premenná uzavretá v zátvorkách. V takom prípade musíte otvoriť zátvorky a analyzovať prijaté exponenty.

Tipy

• Ak je exponent nezávislej premennej párny, potom je funkcia párna; ak je exponent nepárny, funkcia je nepárna.

Varovanie

• Tento článok je možné použiť iba na funkcie s dvoma premennými, ktorých hodnoty je možné vykresliť do súradnicovej roviny.