Obsah

• Na krok
• Metóda 1 z 2: Metóda jedna: Krížové násobenie
• Metóda 2 z 2: Metóda dva: Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) menovateľov
• Tipy

Racionálna funkcia je zlomok s jednou alebo viacerými premennými v čitateli alebo menovateli. Racionálna rovnica je akákoľvek rovnica, ktorá obsahuje aspoň jeden racionálny výraz. Rovnako ako bežné algebraické rovnice, aj racionálne výrazy je možné vyriešiť uplatnením rovnakej operácie na obe strany rovnice, kým nebude premenná izolovaná na jednu stranu znaku rovnosti. Pre izoláciu premenných a riešenie racionálnych rovníc sú obzvlášť užitočné dve špeciálne metódy, krížové násobenie a nájdenie najmenšieho spoločného násobku menovateľov.

Na krok

Metóda 1 z 2: Metóda jedna: Krížové násobenie

1. Ak je to potrebné, usporiadajte rovnicu tak, aby ste sa uistili, že na oboch stranách rovníka je zlomok. Krížové násobenie je rýchla metóda riešenia racionálnych rovníc. Táto metóda bohužiaľ funguje iba pre racionálne rovnice, ktoré majú presne jeden racionálny výraz alebo zlomok na oboch stranách znamienka rovnosti. Ak to neplatí pre vašu rovnicu, budete pravdepodobne potrebovať nejaké algebraické operácie, aby ste výrazy dostali na správne miesto.
   • Napríklad rovnicu (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 možno ľahko previesť na správny tvar krížového násobenia pridaním x / (- 2) na obidve strany rovnice, čím sa stane výsledkom vyzerá takto: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Pamätajte, že desatinné miesta a celé čísla možno previesť na zlomky tak, že im dáte menovateľ 1. Napríklad (x + 3) / 4 - 2,5 = 5 možno prepísať na (x + 3) / 4 = 7,5 / 1, čo umožňuje použitie krížového násobenia.
   • Niektoré racionálne rovnice nemožno ľahko konvertovať do správneho tvaru. V týchto prípadoch použite metódy, pri ktorých použijete najmenší spoločný násobok menovateľov.
2. Krížové znásobenie. Krížové násobenie jednoducho znamená vynásobenie čitateľa jednej frakcie menovateľom druhej a naopak. Vynásobte čitateľ zlomku naľavo od znamienka rovnosti zlomkom napravo. Opakujte postup s čitateľom vpravo a menovateľom zlomku vľavo.
   • Krížové násobenie funguje podľa bežných algebraických princípov. Racionálne výrazy a ďalšie zlomky je možné previesť na bežné čísla vynásobením menovateľov. Krížové násobenie je v podstate šikovný skratkový spôsob vynásobenia oboch strán rovnice oboma menovateľmi zlomkov. Neveríte tomu? Vyskúšajte to - po zjednodušení uvidíte rovnaké výsledky.
3. Vytvorte, aby sa tieto dva produkty navzájom rovnali. Po krížovom násobení vám ostanú dva produkty. Zarovnajte tieto dva výrazy a zjednodušte ich tak, aby ste získali najjednoduchšie výrazy na oboch stranách rovnice.
   • Napríklad ak (x + 3) / 4 = x / (- 2) bol váš pôvodný racionálny výraz, potom sa po krížovom znásobení rovná -2 (x + 3) = 4x. Toto možno voliteľne prepísať ako -2x - 6 = 4x.
4. Vyriešte premennú. Na nájdenie hodnoty premennej v rovnici použite algebraické operácie. Pamätajte, že ak sa x objaví na oboch stranách znaku rovnosti, potom pridaním alebo odčítaním výrazu x zaistite, aby na jednej strane znaku rovnosti bolo iba x výrazov.
   • V našom príklade je možné rozdeliť obe strany rovnice o -2, čo nám dáva x + 3 = -2x. Odčítaním x od oboch strán znamienka rovná sa nám dáme 3 = -3x. A nakoniec, vydelením oboch strán číslom -3 dostaneme -1 = x alebo tiež x = -1. Teraz sme našli x, ktoré rieši našu racionálnu rovnicu.

Metóda 2 z 2: Metóda dva: Nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) menovateľov

1. Pochopte, keď je zrejmé, že nájdete najmenší spoločný násobok menovateľov. Najmenší spoločný násobok (LCM) menovateľov je možné použiť na zjednodušenie racionálnych rovníc umožňujúcich vyhľadať hodnoty ich premenných. Nájsť LCM je dobrý nápad, ak racionálnu rovnicu nemožno ľahko prepísať do formy, kde na každej strane znaku rovnosti je iba jeden zlomok alebo racionálny výraz. Na riešenie racionálnych rovníc s tromi a viac členmi sú LCM užitočným nástrojom. Ale pri riešení racionálnych rovníc iba s dvoma členmi je krížové násobenie často rýchlejšie.
2. Preskúmajte menovateľ každej frakcie. Nájdite najmenšie číslo, ktoré je úplne deliteľné ľubovoľným menovateľom. Toto je LCM vašej rovnice.
   • Niekedy je okamžite zrejmý najmenej spoločný násobok - najmenšie číslo, ktoré je úplne deliteľné každým z menovateľov. Napríklad, ak váš výraz vyzerá ako x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, je ľahké zistiť, že LCM musí byť deliteľné 3, 2 a 6, a teda sa musí rovnať 6.
   • Častejšie však LCM racionálneho porovnania nie je okamžite vôbec jasná. V týchto prípadoch vyskúšajte násobky najväčšieho menovateľa, kým nenájdete číslo, ktoré obsahuje násobky ostatných, menších menovateľov. LCM je často produktom dvoch menovateľov. Vezmime si napríklad rovnicu x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, kde LCM sa rovná 8 * 9 = 72.
   • Ak jeden alebo viac menovateľov obsahuje premennú, bude tento proces o niečo ťažší, ale nie je to v žiadnom prípade nemožné. V týchto prípadoch je LCM výraz (s premennými), ktorý vyhovuje všetkým menovateľom, nielen jedinému číslu. Ako príklad môžeme uviesť rovnicu 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), kde LCM sa rovná 3x (x-1), pretože je úplne deliteľná ľubovoľným menovateľom - delenie (x- 1 ) výnosy 3x, delenie 3x výťažky (x-1), a delenie x x výťažok 3 (x-1).
3. Vynásobte každú frakciu v racionálnej rovnici číslom 1. Vynásobenie každého výrazu číslom 1 sa môže javiť ako zbytočné, ale existuje tu trik. Menovite 1 možno napísať ako zlomok - napr. 2/2 a 3/3. Vynásobte každú zlomok vo svojej racionálnej rovnici o 1, zakaždým napíšte 1 ako počet alebo výraz vynásobený každým menovateľom, čím získate LCM ako zlomok.
   • V našom príklade môžeme x / 3 vynásobiť 2/2, aby sme dostali 2x / 6, a vynásobiť 1/2 x 3/3, aby sme dostali 3/6. 3x +1/6 už má ako menovateľ 6 (lcm), takže ho môžeme vynásobiť 1/1 alebo len nechať.
   • V našom príklade s premennými v menovateľoch je celý proces o niečo komplikovanejší. Pretože LCM sa rovná 3x (x-1), vynásobíme každý racionálny výraz zlomkom, ktorý dá 3x (x-1) ako menovateľ. Násobíme 5 / (x-1) číslom (3x) / (3x) a tým dostaneme 5 (3x) / (3x) (x-1), vynásobíme 1 / x 3 (x-1) / 3 (x -1) a toto dáva 3 (x-1) / 3x (x-1) a vynásobíme 2 / (3x) číslom (x-1) / (x-1) a tým nakoniec dostaneme 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Zjednodušte a vyriešte x. Teraz, keď má každý výraz vo vašej racionálnej rovnici rovnakého menovateľa, je možné vylúčiť menovatele z rovnice a vyriešiť čitateľa. Jednoducho vynásobte obe strany rovnice pomocou LCM, aby ste sa zbavili menovateľov, takže vám zostanú iba čitatelia. Teraz sa stala pravidelnou rovnicou, ktorú môžete vyriešiť pre premennú tak, že ju izolovate na jednej strane znamienka rovnosti.
   • V našom príklade po vynásobení použitím 1 ako zlomku dostaneme 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Môžu byť pridané dve zlomky, ak majú rovnakého menovateľa, takže túto rovnicu môžeme napísať ako (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 bez zmeny jej hodnoty. Vynásobte obe strany číslom 6, aby ste zrušili menovateľa, a ponechajte 2x + 3 = 3x + 1. Tu odčítajte 1 od oboch strán, aby ste ponechali 2x + 2 = 3x, a odčítajte 2x od oboch strán, aby ste zanechali 2 = x, čo sa potom dá zapísať aj ako x = 2.
   • V našom príklade s premennými v menovateľoch sa rovnica po vynásobení každého výrazu „1“ rovná 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Vynásobenie každého výrazu LCM umožňuje zrušiť menovatele, čo nám teraz dáva 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Keď sa to ďalej spracuje, stane sa to 15x = 3x - 3 + 2x -2, čo sa dá opäť zjednodušiť ako 15x = x - 5. Odpočítaním x od oboch strán sa získa 14x = -5, takže konečnú odpoveď možno zjednodušiť na x = - 14/14.

Tipy

• Keď nájdete hodnotu premennej, skontrolujte svoju odpoveď zadaním tejto hodnoty do pôvodnej rovnice. Ak získate hodnotu premennej vpravo, mali by ste byť schopní zjednodušiť rovnicu na jednoduchú korektnú vetu, napríklad 1 = 1.
• Každá rovnica môže byť napísaná ako racionálny výraz; stačí ho umiestniť ako čitateľ nad menovateľa 1. Takže rovnicu x + 3 môžeme napísať ako (x + 3) / 1, obe majú rovnakú hodnotu.