Obsah

• Na krok

Trigonometrická rovnica je rovnica s jednou alebo viacerými trigonometrickými funkciami premennej trigonometrickej krivky x. Riešiť pre x znamená nájsť hodnoty trigonometrických kriviek, ktorých trigonometrické funkcie spôsobujú, že trigonometrická rovnica je pravdivá.

• Odpovede alebo hodnoty kriviek riešenia sú vyjadrené v stupňoch alebo radiánoch. Príklady:

x = Pi / 3; x = 5 Pi / 6; x = 3 Pi / 2; x = 45 stupňov; x = 37,12 stupňov; x = 178,37 stupňov

• Poznámka: Na jednotkovej kružnici sa trigonometrické funkcie ľubovoľnej krivky rovnajú trigonometrickým funkciám zodpovedajúceho uhla. Jednotková kružnica definuje všetky trigonometrické funkcie premennej krivky x. Používa sa tiež ako dôkaz pri riešení základných trigonometrických rovníc a nerovností.
• Príklady trigonometrických rovníc:
  • hriech x + hriech 2x = 1/2; tan x + postieľka x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Jednotkový kruh.
   • Toto je kruh s polomerom = 1, kde O je počiatok. Jednotková kružnica definuje 4 hlavné trigonometrické funkcie premennej krivky x, ktoré ju krúžia proti smeru hodinových ručičiek.
   • Keď sa krivka s hodnotou x mení na jednotkovej kružnici, platí:
   • Vodorovná os OAx definuje trigonometrickú funkciu f (x) = cos x.
   • Vertikálna os OBy definuje trigonometrickú funkciu f (x) = sin x.
   • Vertikálna os AT definuje trigonometrickú funkciu f (x) = tan x.
   • Vodorovná os BU definuje trigonometrickú funkciu f (x) = cot x.

• Jednotková kružnica sa tiež používa na riešenie základných trigonometrických rovníc a štandardných trigonometrických nerovností zohľadnením rôznych polôh krivky x na kružnici.

Na krok

1. Pochopte metódu riešenia.
   • Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, prevediete ju na jednu alebo viac základných trigonometrických rovníc. Riešenie trigonometrických rovníc nakoniec vyústi do riešenia 4 základných trigonometrických rovníc.
2. Vedieť vyriešiť základné trigonometrické rovnice.
   • Existujú 4 základné trigonometrické rovnice:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; detská postieľka x = a
   • Základné trigonometrické rovnice môžete vyriešiť štúdiom rôznych pozícií krivky x na trigonometrickom kruhu a použitím trigonometrickej prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky). Ak chcete úplne pochopiť, ako vyriešiť tieto a podobné základné trigonometrické rovnice, prečítajte si nasledujúcu knihu: „trigonometria: Riešenie trigonometrických rovníc a nerovností“ (Amazon E-book 2010).
   • Príklad 1. Vyriešte hriech x = 0,866. Prevodná tabuľka (alebo kalkulačka) poskytuje odpoveď: x = Pi / 3. Goniometrický kruh dáva ďalšiu krivku (2 Pi / 3) s rovnakou hodnotou pre sínus (0,866). Goniometrický kruh tiež poskytuje nekonečno odpovedí nazývaných rozšírené odpovede.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi a x2 = 2Pi / 3. (Odpovede v lehote (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi a x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Podrobné odpovede).
   • Príklad 2. Riešiť: cos x = -1/2. Kalkulačky dávajú x = 2 Pi / 3. Goniometrický kruh tiež dáva x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi a x2 = - 2Pi / 3. (Odpovede za obdobie (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi a x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Rozšírené odpovede)
   • Príklad 3. Riešenie: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Odpoveď)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Rozšírená odpoveď)
   • Príklad 4. Riešiť: detská postieľka 2x = 1,732. Kalkulačky a trigonometrický kruh poskytujú:
   • x = Pi / 12; (Odpoveď)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Rozšírené odpovede)
3. Naučte sa transformácie použité pri riešení trigonometrických rovníc.
   • Na prevedenie danej trigonometrickej rovnice na štandardné trigonometrické rovnice použite štandardné algebraické prepočty (faktorizácia, spoločný faktor, polynómy ...), definície a vlastnosti trigonometrických funkcií a trigonometrické identity. Existuje asi 31, 14 z nich sú trigonometrické identity, od 19 do 31, ktoré sa tiež nazývajú transformačné identity, pretože sa používajú na prevod trigonometrických rovníc. Pozri vyššie uvedenú knihu.
   • Príklad 5: Goniometrická rovnica: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 môže byť prevedená na produkt základných trigonometrických rovníc pomocou trigonometrických identít: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Základné trigonometrické rovnice, ktoré sa majú vyriešiť, sú: cos x = 0; hriech (3x / 2) = 0; a cos (x / 2) = 0.
4. Nájdite krivky, pre ktoré sú známe trigonometrické funkcie.
   • Predtým, ako sa naučíte, ako riešiť trigonometrické rovnice, musíte vedieť, ako rýchlo nájsť krivky, pre ktoré sú známe trigonometrické funkcie. Konverzné hodnoty kriviek (alebo uhlov) je možné určiť pomocou trigonometrických tabuliek alebo kalkulačky.
   • Príklad: Vyriešte pre cos x = 0,732. Kalkulačka dáva riešenie x = 42,95 stupňov. Jednotková kružnica dáva ďalšie krivky s rovnakou hodnotou pre kosínus.
5. Nakreslite oblúk odpovede na kruh jednotiek.
   • Môžete vytvoriť graf na ilustráciu riešenia v jednotkovej kružnici. Koncovými bodmi týchto kriviek sú pravidelné mnohouholníky na trigonometrickom kruhu. Niekoľko príkladov:
   • Koncové body krivky x = Pi / 3 + k. Pi / 2 je štvorec na jednotkovej kružnici.
   • Krivky x = Pi / 4 + k.Pi / 3 sú reprezentované súradnicami šesťuholníka na jednotkovej kružnici.
6. Naučte sa, ako riešiť trigonometrické rovnice.
   • Pokiaľ daná trigonometrická rovnica obsahuje iba jednu trigonometrickú funkciu, riešte ju ako štandardnú trigonometrickú rovnicu. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac trigonometrických funkcií, existujú dve metódy riešenia v závislosti od možností prepočtu rovnice.
     • A. Metóda 1.
   • Preveďte trigonometrickú rovnicu na produkt tvaru: f (x) .g (x) = 0 alebo f (x) .g (x) .h (x) = 0, kde f (x), g (x) a h (x) sú základné trigonometrické rovnice.
   • Príklad 6. Riešenie: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Riešenie. Nahraďte sin 2x v rovnici pomocou identity: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Potom vyriešime 2 štandardné trigonometrické funkcie: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
   • Príklad 7. Riešiť: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Riešenie: Konvertujte to na produkt pomocou trigonometrických identít: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Teraz vyriešte 2 základné trigonometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
   • Príklad 8. Riešiť: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2 Pi)
   • Riešenie: Konvertujte to na produkt pomocou trigonometrických identít: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Teraz vyriešte 2 základné trigonometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0.
     • B. Prístup 2.
   • Skonvertuje trigovú rovnicu na triglovú rovnicu iba s jednou jedinečnou trigovou funkciou ako premennou. Existuje niekoľko rád, ako zvoliť vhodnú premennú. Bežné premenné sú: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t a tan (x / 2) = t.
   • Príklad 9. Riešenie: 3in ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4in x + 7 (0 x 2Pi).
   • Riešenie. V rovnici nahraďte (cos ^ 2x) výrazom (1 - sin ^ 2x) a zjednodušte rovnicu:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Teraz použite sin x = t. Rovnica sa stane: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnica s 2 koreňmi: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhú t2 môžeme odmietnuť, pretože> 1. Teraz vyriešime pre: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Príklad 10. Riešiť: opálenie x + 2 opálenie ^ 2 x = detská postieľka x + 2.
   • Riešenie. Použite opálenie x = t. Preveďte danú rovnicu na rovnicu s t ako premennou: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Z tohto súčinu vyriešte t, potom vyriešte štandardnú trigonometrickú rovnicu tan x = t pre x.
7. Riešiť špeciálne trigonometrické rovnice.
   • Existuje niekoľko špeciálnych trigonometrických rovníc, ktoré vyžadujú určité konkrétne prevody. Príklady:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Naučte sa periodické vlastnosti trigonometrických funkcií.
   • Všetky trigonometrické funkcie sú periodické, čo znamená, že po rotácii v určitom období sa vrátia na rovnakú hodnotu. Príklady:
     • Funkcia f (x) = sin x má ako periódu 2Pi.
     • Funkcia f (x) = tan x má Pi ako bodku.
     • Funkcia f (x) = sin 2x má Pi ako bodku.
     • Funkcia f (x) = cos (x / 2) má ako periódu 4Pi.
   • Ak je perióda zadaná v cvičeniach / testoch, musíte v tejto perióde nájsť iba krivku (y) x.
   • POZNÁMKA: Riešenie trigonometrických rovníc je zložité a často vedie k chybám a omylom. Preto by mali byť odpovede starostlivo skontrolované. Po vyriešení môžete odpovede skontrolovať pomocou grafickej kalkulačky, aby ste mohli priamo reprezentovať danú trigonometrickú rovnicu R (x) = 0. Odpovede (ako druhá odmocnina) sú uvedené v desatinných miestach. Napríklad Pi má hodnotu 3,14