Obsah

• Na krok
• Časť 1 zo 4: Zostavenie matice
• Časť 2 zo 4: Osvojenie si operácií riešenia systému s maticou
• Časť 3 zo 4: Zlúčte kroky potrebné na vyriešenie galaxie
• Časť 4 zo 4: Kontrola vášho riešenia
• Tipy

Matica je veľmi užitočný spôsob reprezentácie čísel v blokovom formáte, ktorý potom môžete použiť na riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ak máte iba dve premenné, pravdepodobne použijete inú metódu. Prečítajte si o tom v časti Riešenie systému rovníc pre príklady týchto ďalších metód. Ale ak máte tri alebo viac premenných, pole je ideálne. Použitím opakovaných kombinácií násobenia a sčítania môžete systematicky dospieť k riešeniu.

Na krok

Časť 1 zo 4: Zostavenie matice

1. Overte, či máte dostatok údajov. Ak chcete získať jedinečné riešenie pre každú premennú v lineárnom systéme pomocou matice, musíte mať toľko rovníc, koľko je premenných, ktoré sa pokúšate vyriešiť. Napríklad: s premennými x, yaz potrebujete tri rovnice. Ak máte štyri premenné, potrebujete štyri rovnice.
   • Ak máte menej rovníc ako je počet premenných, zistíte nejaké hranice premenných (napríklad x = 3y a y = 2z), nemôžete však získať presné riešenie. V tomto článku sa budeme venovať iba jedinečnému riešeniu.
2. Vaše rovnice napíšte v štandardnom tvare. Predtým, ako budete môcť vložiť údaje z rovníc do matice, musíte najskôr zapísať každú rovnicu v štandardnom tvare. Štandardný tvar lineárnej rovnice je Ax + By + Cz = D, kde veľké písmená sú koeficienty (čísla) a posledné číslo (D v tomto príklade) je napravo od znamienka rovnosti.
   • Ak máte viac premenných, pokračujte v riadku tak dlho, ako potrebujete. Napríklad, ak ste sa pokúšali vyriešiť systém so šiestimi premennými, váš predvolený tvar by vyzeral ako Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. V tomto článku sa zameriame na systémy s iba tromi premennými. Riešenie väčšej galaxie je úplne rovnaké, vyžaduje to však viac času a ďalších krokov.
   • Upozorňujeme, že v štandardnej forme sú operácie medzi výrazmi vždy doplnkom. Ak je vo vašej rovnici odčítanie, namiesto sčítania s tým budete musieť neskôr pracovať tak, že urobíte svoj koeficient záporný. Aby ste si to ľahšie zapamätali, môžete prepísať rovnicu a pridať operáciu a koeficient vytvoriť záporný. Môžete napríklad prepísať rovnicu 3x-2y + 4z = 1 ako 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Umiestnite čísla zo systému rovníc do matice. Matica je skupina čísel, usporiadaná do akejsi tabuľky, pomocou ktorej budeme pracovať na riešení systému. V zásade obsahuje rovnaké údaje ako samotné rovnice, ale v jednoduchšom formáte. Ak chcete vytvoriť maticu svojich rovníc v štandardnom tvare, stačí skopírovať koeficienty a výsledok každej rovnice do jedného riadku a tieto riadky na seba naložiť.
   • Predpokladajme, že máte systém pozostávajúci z troch rovníc 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 a x + y + z = 7. Horný riadok vašej matice bude obsahovať čísla 3, 1, -1, 9, pretože to sú koeficienty a riešenie prvej rovnice. Všimnite si, že o každej premennej, ktorá nemá koeficient, sa predpokladá, že má koeficient 1. Druhý riadok matice sa stáva 2, -2, 1, -3 a tretí riadok sa stáva 1, 1, 1, 7.
   • Uistite sa, že ste zarovnali koeficienty x v prvom stĺpci, koeficienty y v druhom, koeficienty z v treťom a termíny riešenia vo štvrtom. Po dokončení práce s maticou budú tieto stĺpce dôležité pri písaní vášho riešenia.
4. Okolo celej matice nakreslite veľkú hranatú zátvorku. Podľa konvencie je matica označená dvojicou hranatých zátvoriek [] okolo celého bloku čísel. Konzoly nijako neovplyvňujú riešenie, ale naznačujú, že pracujete s maticami. Matica môže pozostávať z ľubovoľného počtu riadkov a stĺpcov. V tomto článku použijeme zátvorky okolo výrazov v rade na označenie, že patria k sebe.
5. Používanie spoločnej symboliky. Pri práci s maticami je bežné odvolávať sa na riadky so skratkou R a na stĺpce so skratkou C. Na označenie konkrétneho riadku alebo stĺpca môžete použiť aj čísla spolu s týmito písmenami. Napríklad na označenie riadku 1 matice môžete napísať R1. Z riadku 2 sa potom stane R2.
   • Môžete označiť ktorúkoľvek konkrétnu pozíciu v matici pomocou kombinácie R a C. Napríklad na označenie výrazu v druhom riadku, treťom stĺpci, by ste ho mohli nazvať R2C3.

Časť 2 zo 4: Osvojenie si operácií riešenia systému s maticou

1. Pochopte tvar matice roztoku. Predtým, ako začnete riešiť svoju sústavu rovníc, musíte pochopiť, čo budete robiť s maticou. V tomto okamihu máte maticu, ktorá vyzerá takto:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Pri vytváraní „matice riešenia“ pracujete s niekoľkými základnými operáciami. Matica riešenia bude vyzerať takto:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 r
   • 0 0 1 z
   • Všimnite si, že matica pozostáva z 1 v diagonálnej línii s 0 vo všetkých ostatných priestoroch okrem štvrtého stĺpca. Čísla vo štvrtom stĺpci sú riešením pre premenné x, yaz.
2. Použite skalárne násobenie. Prvý nástroj, ktorý máte k dispozícii na riešenie systému pomocou matice, je skalárne násobenie. Toto je jednoducho pojem, ktorý znamená, že vynásobíte prvky v rade matice konštantným počtom (nie premennou). Ak používate skalárne násobenie, nezabudnite, že každý člen celého riadku musíte vynásobiť ľubovoľným číslom, ktoré vyberiete. Ak zabudnete prvé volebné obdobie a iba sa znásobíte, získate nesprávne riešenie. Nemusíte však vynásobiť celú maticu súčasne. Pri skalárnom násobení pracujete vždy iba s jedným riadkom.
   • Je bežné používať zlomky v skalárnom násobení, pretože často chcete získať diagonálny rad 1. Zvyknite si na prácu s zlomkami. Bude tiež jednoduchšie (pre väčšinu krokov pri riešení matice) vedieť napísať svoje zlomky v nesprávnej forme a potom ich previesť späť na zmiešané čísla pre konečné riešenie. Preto sa s číslom 1 2/3 pracuje ľahšie, ak ho napíšete ako 5/3.
   • Napríklad prvý riadok (R1) nášho príkladu problému začína výrazmi [3,1, -1,9]. Matica roztoku musí obsahovať 1 na prvej pozícii prvého riadku. Aby sme „zmenili“ 3 na 1, môžeme vynásobiť celý riadok 1/3. Tak vznikne nová R1 z [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Nezabudnite zanechať všetky negatívne znaky tam, kam patria.
3. Použite sčítanie riadku alebo odčítanie riadku. Druhým nástrojom, ktorý môžete použiť, je sčítanie alebo odčítanie dvoch riadkov matice. Ak chcete vytvoriť 0 výrazov v matici riešenia, musíte pridať alebo odčítať čísla, aby ste sa dostali k 0. Napríklad ak R1 je matica [1,4,3,2] a R2 je [1,3,5,8], potom môžete odčítať prvý riadok od druhého riadku a vytvoriť nový riadok [0, -1, 2,6], pretože 1-1 = 0 (prvý stĺpec), 3-4 = -1 (druhý stĺpec), 5-3 = 2 (tretí stĺpec) a 8-2 = 6 (štvrtý stĺpec). Pri pridávaní alebo odčítaní riadkov prepíšte nový výsledok namiesto riadku, s ktorým ste začali. V takom prípade by sme extrahovali riadok 2 a vložili nový riadok [0, -1,2,6].
   • Môžete použiť skratkovú notáciu a túto akciu vyhlásiť za R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Pamätajte, že sčítanie a odčítanie sú práve opačné formy tej istej operácie. Predstavte si to ako sčítanie dvoch čísel alebo odčítanie opaku. Napríklad, ak začnete jednoduchou rovnicou 3-3 = 0, môžete to považovať za problém sčítania 3 + (- 3) = 0. Výsledok je rovnaký. Zdá sa to jednoduché, ale niekedy je jednoduchšie zvážiť problém v tej či onej podobe. Neustále sledujte svoje negatívne znaky.
4. Kombinujte sčítanie riadkov a skalárne násobenie v jednom kroku. Nemôžete očakávať, že sa výrazy budú vždy zhodovať, takže na vytvorenie nuly v matici môžete použiť jednoduché sčítanie alebo odčítanie. Častejšie budete musieť pripočítať (alebo odčítať) násobok z iného riadku. Ak to chcete urobiť, najskôr urobte skalárne násobenie a potom tento výsledok pridajte do cieľového riadku, ktorý sa pokúšate zmeniť.
   • Predpokladajme; že existuje riadok 1 z [1,1,2,6] a riadok 2 z [2,3,1,1]. V prvom stĺpci R2 chcete výraz 0. To znamená, že chcete zmeniť hodnotu 2 na hodnotu 0. Ak to chcete urobiť, musíte odpočítať číslo 2. Môžete získať číslo 2 tak, že najskôr vynásobíte riadok 1 skalárnym násobením 2 a potom odčítate prvý riadok od druhého riadku. V krátkej forme to môžeme zapísať ako R2-2 * R1. Najskôr vynásobte R1 2 a získate [2,2,4,12]. Potom to odpočítajte od R2 a získate [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Zjednodušte to a vaša nová R2 bude [0,1, -3, -11].
5. Skopírujte riadky, ktoré pri práci zostanú nezmenené. Pri práci na matici budete meniť jeden riadok po druhom, a to buď skalárnym násobením, sčítaním riadkov alebo odčítaním riadkov alebo kombináciou krokov. Pri zmene jedného riadku nezabudnite skopírovať ostatné riadky matice v pôvodnom tvare.
   • Pri vykonávaní kombinovaného kroku násobenia a sčítania v jednom ťahu nastáva bežná chyba. Povedzme napríklad, že musíte dvakrát odčítať R1 od R2. Keď v tomto kroku vynásobíte R1 2, nezabudnite, že R1 sa v matici nezmení. Násobenie robíte iba kvôli zmene R2. Najskôr skopírujte R1 v pôvodnej podobe, potom urobte zmenu v R2.
6. Najskôr pracujte zhora nadol. Pri riešení systému pracujete veľmi organizovaným spôsobom, v podstate „riešite“ jeden člen matice naraz. Postupnosť poľa s tromi premennými bude vyzerať takto:
   • 1. Vytvorte 1 v prvom riadku, prvom stĺpci (R1C1).
   • 2. V druhom riadku, prvom stĺpci (R2C1) urobte 0.
   • 3. Vytvorte 1 v druhom riadku, druhom stĺpci (R2C2).
   • 4. V treťom riadku, prvom stĺpci (R3C1) urobte 0.
   • 5. V treťom riadku, druhom stĺpci (R3C2) urobte 0.
   • 6. Vytvorte 1 v treťom riadku, treťom stĺpci (R3C3).
7. Pracujte späť zdola nahor. V tomto okamihu, ak ste kroky vykonali správne, ste v polovici riešenia. Musíte mať diagonálnu čiaru 1, pod ktorou sú 0. Na číslach vo štvrtom stĺpci v tomto okamihu nezáleží. Teraz pracujete späť na začiatok nasledovne:
   • Vytvorte 0 v druhom riadku, treťom stĺpci (R2C3).
   • Vytvorte 0 v prvom riadku, treťom stĺpci (R1C3).
   • Vytvorte 0 v prvom riadku, druhom stĺpci (R1C2).
8. Skontrolujte, či ste vytvorili maticu riešenia. Ak je vaša práca správna, vytvorili ste maticu riešenia s číslicami 1 v diagonálnej línii R1C1, R2C2, R3C3 a 0 v ostatných pozíciách prvých troch stĺpcov. Čísla vo štvrtom stĺpci predstavujú riešenia pre váš lineárny systém.

Časť 3 zo 4: Zlúčte kroky potrebné na vyriešenie galaxie

1. Začnite príkladom systému lineárnych rovníc. Aby sme si tieto kroky precvičili, začnime so systémom, ktorý sme použili skôr: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 a x + y + z = 7. Ak to napíšete do matice, máte R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] a R3 = [1,1,1,7].
2. Vytvorte 1 na prvej pozícii R1C1. Všimnite si, že R1 v tomto okamihu začína číslom 3. Musíte to zmeniť na 1. Môžete to urobiť skalárnym násobením vynásobením všetkých štyroch výrazov R1 číslom 1/3. V skratke môžete písať ako R1 * 1/3. To dáva nový výsledok pre R1, ak R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Kópie R2 a R2, nezmenené, keď R2 = [2, -2,1, -3] a R3 = [1,1,1,7].
   • Pamätajte, že násobenie a delenie sú iba vzájomné inverzné funkcie. Môžeme povedať, že vynásobíme 1/3 alebo vydelíme 3 bez zmeny výsledku.
3. Vytvorte 0 v druhom riadku, prvom stĺpci (R2C1). V tomto okamihu R2 = [2, -2,1, -3]. Ak sa chcete priblížiť k matici riešenia, musíte zmeniť prvý člen z 2 na 0. Môžete to urobiť tak, že odčítate dvojnásobok hodnoty R1, pretože R1 začína číslom 1. V skratke je operácia R2- 2 *. R1. Pamätajte, že R1 nezmeníte, iba s ním pracujte. Takže najskôr kópiu R1, ak R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Ak potom zdvojnásobíte každé volebné obdobie R1, získate 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. Na záver odčítajte tento výsledok od pôvodnej R2 a získajte svoju novú R2. Pracovné obdobie po termíne sa toto odčítanie stáva (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Zjednodušujeme ich na nové R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Prvý termín je 0 (nech už bol váš cieľ akýkoľvek).
   • Riadok 3 (ktorý sa nezmenil) zapíšte ako R3 = [1,1,1,7].
   • Pri odčítaní záporných čísel buďte opatrní, aby ste sa ubezpečili, že znamienka zostávajú správne.
   • Teraz najskôr ponechajme zlomky v nesprávnej podobe. To uľahčuje ďalšie kroky riešenia. Zlomky v poslednom kroku problému môžete zjednodušiť.
4. Vytvorte 1 v druhom riadku, druhom stĺpci (R2C2). Ak chcete naďalej vytvárať diagonálnu čiaru jedničiek, musíte druhý člen -8/3 previesť na 1. Urobte to tak, že celý riadok vynásobíte prevrátenou hodnotou daného čísla (-3/8). Symbolicky je tento krok R2 * (- 3/8). Výsledný druhý riadok je R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Upozorňujeme, že ak sa ľavá polovica riadku začne podobať riešeniu s 0 a 1, pravá polovica môže začať vyzerať škaredo a s nesprávnymi zlomkami. Nechajte ich tak, ako sú zatiaľ.
   • Nezabudnite pokračovať v kopírovaní nedotknutých riadkov, takže R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] a R3 = [1,1,1,7].
5. Vytvorte 0 v treťom riadku, prvom stĺpci (R3C1). Vaše zameranie sa teraz presunie do tretieho radu, R3 = [1,1,1,7]. Ak chcete urobiť 0 na prvej pozícii, musíte odčítať 1 od 1, ktorá je momentálne na tejto pozícii. Ak sa pozriete hore, na prvej pozícii R1 je 1. Potrebujete teda odpočítať R1 od R3, aby ste dosiahli požadovaný výsledok. Pracovný termín pre volebné obdobie, ktorý sa stáva (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). Tieto štyri mini problémy je potom možné zjednodušiť na novú hodnotu R3 = [0,2 / 3,4 / 3,4].
   • Pokračujte v kopírovaní pozdĺž R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] a R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8]. Pamätajte, že môžete meniť iba jeden riadok súčasne.
6. V treťom riadku, druhom stĺpci (R3C2) urobte 0. Táto hodnota je momentálne 2/3, ale musí byť prevedená na 0. Na prvý pohľad to vyzerá, že hodnoty R1 môžete odčítať dvojnásobne, pretože zodpovedajúci stĺpec R1 obsahuje 1/3. Ak však zdvojnásobíte a odpočítate všetky hodnoty R1, zmení sa 0 v prvom stĺpci R3, čo však nechcete. Bol by to krok späť vo vašom riešení. Musíte teda pracovať s nejakou kombináciou R2. Odčítaním 2/3 od R2 sa v druhom stĺpci vytvorí 0, bez zmeny prvého stĺpca. V skratke to je R3-2 / 3 * R2. Jednotlivé výrazy sa stanú (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Zjednodušenie potom dá R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Vytvorte 1 v treťom riadku, treťom stĺpci (R3C3). Toto je jednoduché vynásobenie prevrátenej hodnoty čísla, ktoré hovorí. Aktuálna hodnota je 42/24, takže môžete vynásobiť 24/42 a získať požadovanú hodnotu 1. Všimnite si, že prvé dva členy sú 0, takže akékoľvek násobenie zostáva 0. Nová hodnota R3 = [0,0,1,1].
   • Upozorňujeme, že zlomky, ktoré sa v predchádzajúcom kroku zdali dosť komplikované, sa už začínajú riešiť.
   • Pokračujte s R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] a R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Upozorňujeme, že v tomto okamihu máte pre svoju maticu riešenia uhlopriečku 1. Musíte len previesť tri prvky matice na 0 s, aby ste našli svoje riešenie.
8. Vytvorte 0 v druhom riadku, treťom stĺpci. R2 je v súčasnosti [0,1, -5 / 8,27 / 8] s hodnotou -5/8 v treťom stĺpci. Musíte ho transformovať na 0. To znamená, že musíte s R3 vykonať nejakú operáciu, ktorá spočíva v pridaní 5/8. Pretože zodpovedajúci tretí stĺpec R3 je 1, musíte všetky hodnoty R3 vynásobiť 5/8 a výsledok pridať do R2. Stručne povedané, toto je R2 + 5/8 * R3. Termín pre toto obdobie je R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). To možno zjednodušiť na R2 = [0,1,0,4].
   • Potom skopírujte R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] a R3 = [0,0,1,1].
9. Vytvorte 0 v prvom riadku, treťom stĺpci (R1C3). Prvý riadok je momentálne R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Musíte previesť -1/3 v treťom stĺpci na 0 pomocou kombinácie R3. Nechcete používať R2, pretože 1 v druhom stĺpci R2 by zmenila R1 zle. Takže vynásobte R3 * 1/3 a výsledok pridajte do R1. Zápis pre toto je R1 + 1/3 * R3. Výsledkom výrazu pre vypracovanie semestra je R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Môžete to zjednodušiť na nový R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Skopírujte nezmenené R2 = [0,1,0,4] a R3 = [0,0,1,1].
10. V prvom riadku, druhom stĺpci (R1C2) urobte 0. Ak je všetko vykonané správne, mal by to byť posledný krok. Musíte previesť 1/3 v druhom stĺpci na 0. Toto získate vynásobením a odčítaním R2 * 1/3. Stručne povedané, toto je R1-1 / 3 * R2. Výsledkom je R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Zjednodušenie potom dá R1 = [1,0,0,2].
11. Vyhľadajte maticu riešenia. Ak by v tomto okamihu išlo všetko, mali by ste tri riadky R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] a R3 = [0,0,1,1] musieť mať. Všimnite si, že ak to napíšete vo forme blokovej matice s riadkami nad sebou, máte diagonálne 1 s 0 ďalej a vaše riešenia sú vo štvrtom stĺpci. Matica riešenia by mala vyzerať takto:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Pochopenie vášho riešenia. Po prepočte lineárnych rovníc na maticu dáte do prvého stĺpca koeficienty x, do druhého stĺpca koeficienty y a do tretieho stĺpca koeficienty z. Ak chcete maticu znova prepísať na rovnice, tieto tri riadky matice v skutočnosti znamenajú tri rovnice 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 a 0x + 0y + 1z = 1. Pretože môžeme preškrtnúť 0 členov a nemusíme písať 1 koeficienty, zjednodušujú sa tieto tri rovnice riešenia x = 2, y = 4 a z = 1. Toto je riešenie vášho systému lineárnych rovníc.

Časť 4 zo 4: Kontrola vášho riešenia

1. Zahrňte riešenia do každej premennej v každej rovnici. Vždy je dobré skontrolovať, či je vaše riešenie skutočne správne. Urobíte to tak, že svoje výsledky otestujete v pôvodných rovniciach.
   • Pôvodné rovnice tohto problému boli: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 a x + y + z = 7. Keď nahradíte premenné ich hodnotami, ktoré ste našli, získate 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 a 2 + 4 + 1 = 7.
2. Zjednodušte akékoľvek porovnanie. Vykonajte operácie v každej rovnici podľa základných pravidiel pre operácie. Prvá rovnica sa zjednodušuje na 6 + 4-1 = 9 alebo 9 = 9. Druhú rovnicu možno zjednodušiť na 4-8 + 1 = -3 alebo -3 = -3. Posledná rovnica je jednoducho 7 = 7.
   • Pretože sa ktorákoľvek rovnica zjednodušuje na pravdivý matematický výrok, vaše riešenia sú správne. Ak je niektoré z riešení nesprávne, znova skontrolujte svoju prácu a vyhľadajte prípadné chyby. Niektoré bežné chyby sa vyskytujú pri zbavovaní sa znamienok mínus alebo pri mätení násobenia a sčítania zlomkov.
3. Napíšte svoje konečné riešenia. Pre túto danú úlohu je konečné riešenie x = 2, y = 4 a z = 1.

Tipy

• Ak je váš systém rovníc veľmi zložitý a má veľa premenných, môžete namiesto manuálnej práce používať grafickú kalkulačku. Viac informácií nájdete na stránke wikiHow.